Problemløsning i Peter Liljedahls "Thinking Classroom"

Å SNAKKE MATTE,  HVA ER NÅ DET  DA?
EKSAMEN LRU-3351 MANDAG 21.10.19

KANDIDAT 8

Innledning

Vi står i startgropa for innføring av nye lærerplaner og målet er at skolene skal ta disse i bruk fra høsten 2020, med visse unntak (Stortingsmelding 28, 2015- 2016).

De kommende lærerplanene i matematikk har skissert en del kjerneelementer som er sentrale for læring og mestring i matematikkfaget. Kjerneelementene er beskrevet som; utforsking og problemløsning, modellering og anvendelse, resonnering og argumentasjon, abstraksjon og generalisering og ikke minst representasjoner og kommunikasjon. For hvert kunnskapsområde i matematikk skal elevene da også jobbe med kjerneelementer for å utvikle sin matematiske kompetanse. I tillegg må en ta hensyn til de grunnleggende ferdighetenes plass i matematikken og derunder kommunikasjon (Stortingsmelding 28, 2015-2016, s. 40- 43). Ser en på de ulike kompetansekravene, kjerneelementene og grunnleggende ferdighetene i sammenheng, kan en tolke dette som en bredere og mer variert tilnærming til matematikk undervisningen og til de ulike kompetanseområdene i matematikk.  Å kommunisere matematisk vil si å ha fokus på diskusjoner rundt matematiske problemer, fremgangsmåter og løsningsstrategier.  

Snakke matte – hva er nå det da?

« In math you have to remember, in other subjects you can think about it” (Boaler, 2015, s. 35) 

Hva betyr så det? Et ensidig fokus på oppgaveløsning og tavleundervisning, med elevene som passive mottakere, fremmer ikke elevenes kompetanse innenfor kommunikasjon og argumentasjon.  Å lære matematikk avhenger også av å høre på matematiske diskusjoner og forklaringer, tenke matematisk, forstå det, også forklare det. Når elevene lærer å resonner og argumentere for løsninger, vil matematikken oppfattes som mer fornuftig og logisk (Boaler, 2015, s.41 ).

Å kommunisere matematisk må forstås i et videre og mer nyansert perspektiv. Det handler om å fremme den relasjonelle forståelsen, men også om å øve elevene, og også lærere, til å ta i bruk ulike verktøy for å fremme den matematiske samtalen. Det andre er å være bevisst på, og utvikle kultur for læring i et matematisk klasserom, den sosiomatematiske normen. Den sosiomatematiske normen skiller seg fra de sosiokulturelle normene for læring ved at de er spesifikke for matematikkfaget. Hva som oppfattes som gode sosiomatematiske normer må etableres i klasserommet og være så tydelig at alle elever og lærere er innforstått med hva som er akseptable matematiske forklaringer og bevis. Det må etableres en kultur for at det finnes ulike løsningsstrategier og fremgangsmåter i løsning av matematiske problemer og hva som er akseptable begrunnelser og forklaringer (Yackel og Cobb, 1996, s. 460- 466).  

 Et eksempel på hvordan en kan skape forståelse for,  at det finnes ulike måter å løse oppgaver på, er å gi elevene oppgave å finne arealet av en trekant uten å kjenne formelen for dette.

En gruppe elever løser dette ved å multiplisere 
I sin forklaring argumenterer de for at trekant er halvparten av en firkant. Ved å finne arealet av firkanten også dele det på 2 får du arealet av trekanten. En annen gruppe bruker likning som utgangspunkt for resonnementet.  . En annen gruppe bruker likning som utgangspunkt for resonnementet

Her presenterer elevene to ulike fremgangsmåter og resonnement som er like gode men forskjellige. Ved å diskutere de ulike fremgangsmåtene ser eleven at det finnes flere løsningsmåter.  Poenget med eksemplet er å belyse at det finnes mange måter å løse oppgaver på og at det må etableres en klasseromskultur for det. Samtidig er det viktig å gi elevene mulighet til å reflektere over løsninger, diskutere og argumentere for sine resonnement.

Matematiske diskusjon og hvordan fremme den?

« Å forklare for å forstå- Forstå for å forklare »

Gjennom matematiske diskusjoner vil elevene, ifølge Boaler (2015) , oppdage at matematikk er mer enn et sett av regler og metoder. Gjennom diskusjoner vil eleven kunne oppdage at det kan finnes ulike, og kanskje mer kreative og konkrete tilnærminger til ett og samme problem (Boaler, 2015 s. 44). Dette understøttes også Alrø og Skovmose (2004) som påpeker at den matematiske samtalen ofte bærer preg av IRE- Initiering- Respons – Evaluering, IRE kjennetegnes ved at lærer presenterer tema og viser algoritmen. Elevene løser så oppgaver og får bekreftet eller avkreftet om de har gjort det rett.

 Et ensidig fokus på en slik undervisning gir ikke elevene rom for undring eller undersøkelse av matematiske problemer gjennom ulike prosesser.  ( Alrø og Skovmose, 2004)

Inquriry Co- operation Model

Inquiry Co-operation Model, heretter IC- modellen, beskriver åtte spesifikke språkhandlinger og er en dialogisk og undersøkende undervisningsform. Modellen kan synliggjøre elevens dialog og kvaliteten på den, hvor elevfokus er sentralt. Lærer fungerer som støttespiller og veileder  i prosessen( Alrø og Skovmose, 2004).
Under har jeg jeg prøvd å lage en oversikt over de ulike språkhandlingene med eksempler.

                     Figur nr. 1 Skjematisk oversikt over IC- modellen
Denne dialogiske og undersøkende metoden kan virke krevende, men i forhold til å jobbe med rike oppgaver eller problemoppgaver kan dette være en vei å gå. Modellen er dynamisk og en vil oppleve at ikke alle elementene i modellen alltid er like synlig( Alrø og Skovmose, 2004).

Jeg har vurdert denne modellen som godt egnet for arbeid med geometrisk problemer. I undersøkelser  og refleksjon  rundt geometrisk figurer og egenskaper,  kan IC- modellen gi lærer innblikk i hvordan elevene resonnerer og diskuterer.

Hva er geometri?

 Å oppfatte omgivelser, avstander og forhold skjer fra vi blir født. Å kunne orientere seg i romlige forhold er viktig i vårt daglige virke. Å utvikle en dyptgående forståelse for geometri kan være med på å fremme andre matematiske områder som algebra, proporsjonalitet og målinger.

Et eksempel på dette er Pytagoras hvor det er sammenheng mellom algebra, geometri og metriske størrelser. (Van De Walle og Bay- Williams, 2014, s 426). Geometri er et nettverk av ideer, representasjonsmåter og måter å resonnere på.  I figuren under er det forsøkt å illustrere de mange områdene av geometrien. 

Figur nr. 2

Egenskaper som parallell linjer,/sider, vinkler, symmetri ,rotasjon og kongruens beskriver figurenes form. Geometriske figurer kan ha plassering i koordinatsystem både i planet og i en romlig fremstilling. Endringer i posisjoner kan skje ved transformasjoner, speiling eller rotasjoner.
Å undersøke alle sidene av de geometrisk formene vil elevene lettere oppdage sammenhengen mellom 2D figurer og 3D figurer. Et eksempel på dette kan være det å forstå at en kube har grunnflate som et kvadrat og den er sammensatt av 6 kvadrater. Her er digitale hjelpemidler som GeoGebra et godt verktøy for å visualisere dette visualisering.

van Hiele's nivåer for geometrisk tenking. 

En av de mest sentrale skikkelsene innen forskning på geometrisk tenking er van Hiele.
Han beskriver barns utvikling og forståelse i fem nivåer som er hierarkisk oppbygd. Det vil si at utviklingen må skje gjennom hvert av nivåene. Hvert nivå beskriver prosessene for geometrisk tenking og for å avansere til neste nivå må elevene ha jobbet med alle de ulike delene av geometriske konsepter før en kan avansere. Hvilket nivå elevene befinner seg på er ikke aldersavhengig. Det er derfor viktig at en er oppmerksom på at det i en klasse kan være elever på ulike nivåer. Det kan også varier hvilket nivå en og samme elev behersker avhengig av hvilket problem inne geometrien en jobber innenfor ( Battista, 2017).  Hvis elevene jobber på et nivå høyere enn deres geometriske utvikling vil det ikke skje noe læring og mest sannsynlig mangler forståelsen(Van de Walle og Bay- Williams, 2014, Battista, 2017).
De ulike nivåene er beskrevet skjematisk med noen eksempler. For elever i ungdomsskolen  er det de tre første nivåene som er mest aktuelle
van Hiele's nivåer skjematisk

                                                          Figur nr. 3



Videoen under beskriver de ulike nivåene med flere eksempler på hvordan elevene tenker og resonner på de ulike nivåene.Her finner du tips og ideer til oppgaver eleven kan jobbe med for å bevege seg til neste nivå.

                    Undervisningsopplegg
                   Svømmestevne

Klassetrinn : 9 trinn
Tidsramme: 3 undervisningstimer - men kan utvides
Forutsetninger: Elevene må ha kjennskap til 2 og 3 dimensjonale figurer, begreper som volum og areal.
Kompetansemål: etter 10. trinn
Geometri :"undersøkjeog beskrive eigenskapar ved to-og tredimensjonale figurar"(Saaby, 2013,s. 44)
                  " tolke og lage arbeidsteikningar"( Saaby, 2013, s. 44)
Måling: "Gjere overslag over og berekne lengde, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum" ( Saaby, 2013, s. 44)


Oppgaveteksten

       Figur nr 4

Figur nr.5

Introduksjon 
Elevene får utdelt oppgaveteksten og starter med å jobbe i læringspar. De får beskjed om å lese gjennom teksten og notere ned det de får vite. Etter 5-10 minutter plasseres eleven i forutbestemte grupper og får i oppdrag å presenter funnen for hverandre, samtidig som de får utdelt en tegning av bassengprofilen med mål.
Lokalisering/identifisering.
Gruppene må sammen identifisere hva som er problemet, stille spørsmål og diskutere hvordan de skal angripe problemet. Utveksling av ideer og forslag til hva oppgaven legger opp til bør også komme i denne fasen. Her er det viktig at lærer går rundt og lytter og observere for å se om elevene har tolket oppgaven rett og eventuelt komme med hint og tips ved hjelp av åpne spørsmål. Spørsmål som ; hva vet dere? Hvordan kan dere jobbe for å finne arealet?
Advokere/ høyttenking 
Elevene vil etterhvert, gjennom diskusjoner og argumentasjoner finne løsningsstrategier. Noen elever vil mest sannsynlig dele opp bassenget  og beregne volm av hver del. I oppgaven ligger det også en "invitasjon" til å videreutvikle det matematiske kunnskap. Bassenget har en skråning som kan gi elevene utfordringer med beregningene. Uavhengig av om elevene har jobbet med Pytagoras eller ikke,  kan det oppstå mange diskusjoner rundt strategier og løsningsmåter.
Omformulere/Utfordre/ Evaluere.
Underveis i prosessen kan det være en ide å stoppe opp og ha noen felles diskusjoner hvor de enkelte gruppene presenterer hva de har tenkt, hvilke strategier de har valgt og hvorfor, og eventuelle utfordringer de har møtt på.  Hvis elevene er vant til arbeidsformen vil dette kunne være nyttig både for lærer og elever. Da kan alle få en felles forståelse for oppgavens innhold, måter å tenke på for å løse oppgaven. Lærer får også mulighet til å avdekke misoppfatninger. Det er viktig at evntuelle tilbakemeldinger er konstruktive og positivt ladet, slik at elevene opplever dette som  positivt erfaring.
Oppgaven er såpass åpen at den gir muligheter for å oppdage mye annen matematikk noe du som lærer må ha i bakhodet.

 Selv om fremstillingen av de ulike ulike diskusjonskategoriene er presentert i rekke følge er det ikke dermed sagt at det oppleves slik i undervisningssituasjon. Prosessen er dynamsik og noen elementer kan gå igjen eller være fraværende. Dette er bare et forslag og noen tanker om hva som kan identifisers innenfor de ulike kategoriene.

Litteraturliste

Alrø,H., Skovmose,O. (2004). Dialogic learning in collaborative investigation. Nordic Studies in Mathematics Education No. 2

Battista, M. T. (2007). The development of geometric thinking and spatial thinking. I F. K. Lester, . Second handbook of research on mathematics teaching and learning. (s. 843-908). Charlotte, N. C.: Information Age

Boaler, J. (2015). The Elephant in the classroom - helping children learn and love maths.;Viking Penguin USA

Saaby, m, (2013); Kunnskapsløftet Mål og innhold i grunnskolen.Pedlex

Van de Walle, Karp & Bay-Williams (2014). Elementary and Middle School Mathematics, Allyn & Bacon; 8.ed.Essex: Pearson Educational limited uk.  

Yackel, E.,Cobb, P., (1996); Sosiomathematical Norms, Argumentation and Autonomy in Mathematics. ( s.458- 477)Journal for Reaseach in Mathematic Education. Vol. 27

Netteresursser

St.meld. nr. 8 (2015. Fremtidens skole – Fornyelse av fag og kompetanse. Hentet fra https://www.regjeringen.no/no/dokumenter/nou-2015-8/id2417001/

Hentet 10.10.19

Film

Van Hiele model of geometric thinking

https://www.youtube.com/watch?v=lJ0h6iq4AHU

Hentet 20.10.19

Figurer

Figur 1: Skjematisk oversikt av IC- modellen ( Alrø og Skovmose

Laget av kandidaten

Figur 2 Oversikt over komponenter/innhold i geometri

Laget av kandidaten

Figur 3 : Oversikt over van Hiele’s nivå av geometrisk tenking

Laget av kandidaten

Figur 4; Svømmestevne oppgave

Laget av kandidaten

Figur 5: Skjematisk tegning av et basseng

Laget av kandidaten

                  

           

               

       

Litteraturliste

http://docplayer.dk/docs-images/48/24702985/images/15-0.png

Den matematiske samtalen