Et tenkende klasserom

I en samtale med noen matematikklærere ved en skole i Tromsø fikk vi innføring i en, for oss, ny og spennende arbeidsmåte. Konseptet heter "thinking classroom" og er utviklet av Peter Liljedahl som er professor ved Simon Fraser University, Canada. I dette blogginnlegget vil vi presentere et undervisningsopplegg i matematikk basert på forskningen hans og gjennom teori om problemløsning. Liljedahl mener at noe av det som mangler hos både lærere og elever i mange klasserom er en kultur der tenking står sentralt. Målet er å skape et klasserom med engasjerte elever som tenker kreativt rundt problemløsning. Det er få ting som er mer givende enn å oppleve engasjerte elever i timene. Thinking classroom blir i dette innlegget videre omtalt som et tenkende klasserom.  

Bilde fra Liljedahl (08.10.2019)

Hva er et tenkende klasserom? 

For å beskrive hva som menes med et tenkende klasserom har vi tatt utgangspunkt i Peter Liljedahls (2016) forskningsartikkel “Building thinking classrooms: conditions for problem solving”. Utgangspunktet for artikkelen bygger på hans tidligere forskning og erfaringer fra klasserom hvor elever ikke var i stand til å engasjere seg i problemløsningsoppgaver, og hadde utfordringer med å tenke kreativt og utforske matematiske problemer. Han ønsket å finne noen undervisningsprinsipper som kunne "bryte" elevene ut av de satte klasseromsnormene hvor elevene ikke var i stand til å tenke selv. I klasserom som kjennetegnes av en mer tradisjonell undervisning er det typisk at læreren ikke har en forventing om at elevene er i stand til å tenke seg frem til en løsning på et problem, og elevene er heller ikke vant med å diskutere, begrunne og argumentere (Liljedahl, 2016, s. 1). I slike tilfeller opplever man gjerne at elevene gir fort opp når de får en problemløsningsoppgave, gjerne med en gang oppgaven er delt ut.

A thinking classroom is a classroom that is not only conductive to thinking but also occasions thinking, a space that is inhabited by thinking individuals as well as individuals thinking collectively, learning together, and constructing knowledge and understanding through activity and discussion. It is a space wherein the teacher not only fosters thinking but also expects it, both implicitly and explicitly.

(Liljedahl, 2016, s. 4).

Slik vi forstår definisjonen må klasseromet legges til rette for at elevene får anledning til å tenke og lære sammen. Det skal være et rom som består av tenkende individer og individer som tenker sammen, lærer sammen, konstruerer kunnskap og forståelse sammen, gjennom aktivitet og diskusjon. Klasserommet skal være et sted hvor læreren ikke bare legger opp til at elevene skal tenke, men forventer det både direkte og indirekte. Liljedahl (2016, s. 5) har kommet frem til ni elementer i undervisningen for hvordan man kan skape og vedlikeholde et tenkende klasserom, disse er som følger: 

1. The type of tasks used and when and how they are used
2. The way in which tasks are given to students
3. How groups are formed, both in general and when students work on tasks
4. Student workspace while they work on tasks
5. Room organization, both in general and when students work on tasks
6. How questions are answered when students are working on tasks
7. The ways in which hints and extensions are used, while students work on tasks
8. When and how a teacher levels their classroom during or after tasks
9. And assessment, both in general and when students work on tasks
(Liljedahl, 2016, s. 5)

Et viktig poeng er at disse ni elementene ikke er like avgjørende og virkningsfulle. I artikkelen vises det til en hierarkisk modell som viser en ideel kronologisk implementering av de ulike elementene. Se tabell 1 under:

STAGE ONE	STAGE TWO	STAGE THREE
•    begin lessons with problem solving tasks •    vertical non-permanent surfaces •    visibly random groups	•    oral instructions •    defronting the room •    answering questions	•    levelling •    assessment •    managing flow

(Tabell 1: Nine elements as chronologically implemented Liljedahl, 2016, s. 23)

I dette innlegget velger vi å ikke gå inn på alle elementene, men fokusere på de som er på stage one da dette vil være mest relevant for undervisningsopplegget vi presenterer lenger ned. 

Type oppgave

Liljedahl (2016) påpeker at problemløsning er det åpenbare valget for å få elevene til å tenke. Vi vil trekke frem Lesh & Zawojewskis (2007, s. 782) definisjon av problemløsning da denne baserer seg på tidligere forskning samt nye perspektiver av forskning på matematisk problemløsning. De foreslår følgende definisjon: 

A task, or goal-directed activity, becomes a problem (or problematic) when the “problem solver” (which may be collaborating group or specialists) needs to develop a more productive way of thinking about the given situation.

Slik vi tolker det blir da en oppgave, eller en målrettet aktivitet, et problem når problemløseren må utvikle en mer produktiv måte å tenke på. Med dette menes at problemløseren må engasjere seg i en prosess for å tolke situasjonen. Derfor vil oppbyggingen av oppgaven eller aktiviteten være avgjørende for denne prosessen. Definisjonen over omfatter forestillingen om at mennesker lærer matematikk gjennom problemløsning og at en lærer problemløsning gjennom kreativ matematikk. Vi supplerer med Van de Walle, Bay-Williams, Karp & Lovins (2013, s. 14) definisjon av problemløsning da deres bok er en hyppig brukt i lærerutdanningen. De skriver at det å lære matematikk gjennom problemløsning betyr at elever løser problemer for å lære ny matematikk fremfor å anvende matematikken etter de har lært den. Problemløsning gjør at elever lærer matematikk gjennom reelle kontekster, problemer, situasjoner, og modeller noe som gir dem mulighet til å bygge mening rundt begrepene og konseptene. 

Begge definisjonene vi har presentert trekker frem dette med at elever skal lære ny matematikk gjennom problemløsing. Målet med problemløsning er at elevene skal oppnå relasjonell forståelse i matematikk. Wan de Walle et al. (2013, s. 6) skriver at elever utvikler sin matematiske forståelse gjennom problemløsning fordi de forklarer, fremskaffer bevis og begrunnelser, oppdager og utvikler eksempler, generaliserer, analyserer, lager antakelser, anvender konsepter, representerer ideer på ulike måter, og kommuniserer koblinger og forhold mellom det gitte temaet og andre deler av matematikken. Vi ser at det er mange fordeler med problemløsning, men som lærere er kanskje det viktigste at det kan bidra til å engasjere elevene til å lære matematikk, og ikke minst at det er gøy! 

En god problemløsningsoppgave vil inneholde elementer fra det Utdanningsdirektoratet (2015) kaller rike oppgaver, disse elementene er: 

• Introdusere viktige ideer eller løsningsstrategier. 
• Være lett å forstå og alle skal kunne komme i gang og arbeide med den (lav inngangsterskel).
• Oppleves som en utfordring, kreve anstrengelse og tillates å ta tid. 
• Kunne løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner. 
• Kunne initiere en faglig diskusjon som viser ulike strategier, representasjoner og ideer. 
• Kunne fungere som brobygger mellom ulike faglige områder. 
• Kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer (Hva hvis...?Hvorfor er det sånn…?)  

Dette samsvarer med det Van de Walle et al. (2013) kaller gode problemløsningsoppgaver. Et eksempel på en problemløsningsoppgave som kan bli gitt til elevene før de har lært å jobbe med forholdstall og finne den ukjente kan være: 

Kari har klippet ut en annonse fra avisen der hun kan få 4 pizza for 100,- fra Peppers pizza. Hvis Peppers pizza gir henne det samme tilbudet på flere pizzaer, hvor mye vil 18 pizza koste?

Målet med slike oppgaver er at elever får mulighet til å komme med ulike løsningsforslag og at disse blir synlig for alle. Man kan enten stille spørsmålet slik som det står overfor og se hvordan det utarter seg, eller man kan be elevene komme med ulike løsningsforslag og løsningsmetoder. Løsningen på en slik oppgave vil kunne framstilles som en graf, i en tabell, som et regnestykke etc. 

Arbeidsrom og arbeidsflate 

Liljedahl (2016, s. 9) oppdaget at den vanlige måten å jobbe med oppgaver på, sitte ved pulten, ikke bidrar særlig til at elevene tenker. Han undersøkte nemlig hva som skjedde hvis elevene arbeidet stående eller annen plass som ikke var ved skrivepulten. De interessante resultatene kommer fram i tabellen i tabell 2.

	vertical whiteboard	horizontal whiteboard	vertical paper	horizontal paper	notebook
N (groups)	10	10	9	9	8
1. time to task	12.8 sec	13.2 sec	12.1 sec	14.1 sec	13.0 sec
2. time to notation	20.3 sec	23.5 sec	2.4 min	2.1 min	18.2 sec
3. eagerness	3.0	2.3	1.2	1.0	0.9
4. discussion	2.8	2.2	1.5	1.1	0.6
5. participation	2.8	2.1	1.8	1.6	0.9
6. persistence	2.6	2.6	1.8	1.9	1.9
7. non-linearity	2.7	2.9	1.0	1.1	0.8
8. mobility	2.5	1.2	2.0	1.3	1.2

(Tabell 2: Average times and scores on the eight measures, Liljedahl 2016, s. 9)

Hver kategori fikk en score fra 0-3 for hvordan elevene arbeidet. De som arbeidet stående med en whiteboard-tavle var de elvene som oppnådde størst evne til engasjement, diskusjon, deltakelse, besluttsomhet og mobilitet. I tillegg hadde de større evne til å diskutere med andre grupper. Andre interessante ting han fant ut var at elevene som arbeidet med en whiteboard-tavle var mer villig til å ta større risiko og utforske ulike løsninger på oppgavene enn de elevene som brukte skrivesaker, skrivebok eller andre typer ark. Dette antas å komme av at terskelen for å prøve er høyere fordi det er et mer permanent verktøy. Ved å la elevene arbeide på en slik måte vil det i tillegg bli mer synlig for alle de andre gruppene, ikke bare for læreren. 

Det kan være en utfordring å skaffe whiteboards til alle veggene i et klasserom. Som i forskningen til Liljedahl kan kreative løsninger bidra til at dette blir gjennomførbart. En kan bruke bla. vinduene i klasserommet og andre blanke overflater som dusjforheng, eller pulter som er snudd på høykant.  

Foto: forfatter

Visuelt randomiserte grupper 

Gruppearbeid er vanlig i mange klasserom og er ofte en motiverende faktor for mange elever, men effekten av det kan være varierende. Lærere kan oppleve det som tidkrevende og utfordrende da man ofte tenker at man må ta hensyn til mange faktorer. Liljedahl (2016, s. 16) har undersøkt inndeling av grupper i klasserommet og det viser seg at det vanligste er at elevene selv finner fram til grupper, da ofte motivert av sosiale mål, eller at lærere deler gruppen strategisk inn med et mål om et rolig arbeidsmiljø, eller med pedagogiske mål gjerne hvor elevene blir delt inn etter nivå. Dette er noe også Van de Walle et al. (2005, s. 28) fraråder da elevene ikke i like stor grad får innsikt i ulike løsningsforslag. Mange av de flinke elevene kommer gjerne med like løsninger og de flinke får ikke sett de alternative løsningsmetodene elever med lavere måloppnåelse kan komme med, noe som er minst like viktig og nyttig. En slik mismatch mellom pedagogiske læringsmål og sosiale mål i klassen kan skape misfornøyde elever samme hvor strategisk læreren har vært i inndeling av grupper (Kotsopoulos, 2007; Slavin, 1996, referert i Liljedahl, 2016 s. 16). 

Liljedahl (2016 s. 16) undersøkte alternative metoder for inndeling av grupper. Til å begynne med så han på randomiserte (tilfeldig valgte) grupper, og fant ut at effekten av dette var like lav som de andre metodene da elevene antok at det var en baktanke ved det. Når gruppene ble visuelt randomisert for elevene, altså tilfeldig valgt slik at elevene kunne se det, ble endringen merkbar. Ved å gjennomføre visuelt randomiserte grupper ofte ble klassenes atferd endret i stor grad; elevene ble mer kapabel til å arbeide i ulike grupper, det eliminerte sosiale utfordringer, evnen til å dele kunnskap mellom seg ble større, avhenighet til læreren for å komme med en løsning ble mindre, tillitt til løsningsforslag innad og på tvers av grupper ble større, deltakelse i klassen og i arbeid med oppgaver ble større, og elevene ble mer engasjerte i matematikkfaget (Liljedahl 2016, s. 16). 

Så, hvordan kan man løse dette? Det kan virke tidkrevende for lærere å alltid skulle gjøre dette, men i dagens klasserom har man gjerne tilgang til en Smartboard eller annen digital skjerm. På en Smartboard finnes det programmer som kan gjøre denne jobben for deg, samt finnes det nettressurser som gjør den samme jobben, noe man finner med å google group generator.

Undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget er tiltenkt elever på 7. trinn, men med modifikasjoner er det mulig å bruke dette på andre klassetrinn. Oppgaven gir mulighet til ulike løsningsforslag og passer under flere av hovedområdene i den nåværende læreplanen (LK06). Målet med undervisningen er at vi skal utvikle et tenkende klasserom. Modellen under foreslår en struktur for hvordan problembasert undervisning i matematikk kan gjennomføres. 

Elevene vil bli delt inn i tilfeldige grupper på 2-4 hvor hver gruppe får en blank arbeidsflate (helst whiteboard), sammen skal de diskutere løsningsforslag og notere ideer underveis. Da gruppen blir tildelt kun én penn/tusj må de sammarbeide; én har ansvaret for å skrive ned løsningsforslag og de andre på gruppen må forklare og begrunne løsningsforslagene slik at alle på gruppen forstår hva de mener. Oppgaven elevene får er som følger: 

Thea og Abraham står ved siden av hverandre ved foten av et fjell. På toppen ligger det en skatt som begge vil ha. Begge starter å gå oppover samtidig. Thea holder et tempo på 5 meter hvert 25 sekund. Abraham går 3 meter hvert 10 sekund. Hvem kommer først frem til skatten?
(Van de Walle et al. 2013, s. 16)

Elevene får opplest denne oppgaven muntlig noe som krever at de må lytte aktivt og sammen avdekke relevant informasjon. Muntlig presentasjon av oppgaven setter elevene fortere i gang med å diskutere hva det blir spurt etter fremfor å analysere oppgavetekster. Underveis i arbeidet er det viktig, som vi ser i modellen over, at læreren anerkjenner ulike løsninger og gir støtte, men ikke gir svaret på problemet. Etterhvert som gruppene kommer fram til løsninger kan man supplere med relevante utfordringer ut fra svarene de får. Slike utfordringer kan være: 

• Thea starter å gå 1 minutt før Abraham. Hvor langt må det være til toppen for at Abraham skal komme før Thea? 
• Hvor langt må det være til toppen for at de skal komme samtidig til toppen?

Etter arbeidet med oppgaven og alle elevene har kommet fram til ett eller flere løsningsforslag bør man ha en diskusjon om erfaringene elevene har gjort og forståelsen de har fått. Å benytte seg av det Elhanm Kazemi og Allison Hintz kaller for åpen strategideling (2014, s. 18), vil være hensiktsmessig i denne sammenhengen i tillegg til at det er i tråd med det siste steget i modellen for gjennomføring av en problembasert undervisningsøkt. Målet med åpen strategideling er å få frem flere forskjellige løsningsmetoder for å gi elevene et stort repertoar av strategier (Kazemi & Hintz, 2014, s, 18). 

Kazemi og Hintz (2014, s. 21) presenterer noen talk moves som kan bidra til å drive diskusjonen og bidra til læring både under og etter en oppgave. Vi ønsker å trekke fram Reasoning, Revise og Wait time som samtalegrepene under og etter arbeid med denne oppgaven. Reasoning (begrunne) innebærer å stille elevene spørsmål som «hvorfor gir dette mening?», «er dere enige eller uenige?». Når elevene må begrunne tvinges de til å gi en forklaring som sier noe mer om det de har gjort enn bare hva svaret på oppgaven ble, i tillegg til at elevene må gjøre seg forstått for resten av klassen. Når noen har vist og begrunnet en løsning vil et nytt samtalegrep kunne være Revise (revidere) som gir elevene mulighet til å reflektere over sin egen løsning og endre på den. Elever vil kunne komme med innvendinger både på sin egen og andres løsning. Når man arbeider på denne måten med diskusjon sammen med klassen er det viktig å gi elevene tid til å tenke og vurdere (wait time). Elevene må få tid til å tenke på spørsmål som blir stilt, og når noen får mulighet til å svare, må de få tid til å organisere tankene. 

I et tenkende klasserom vektlegges læringsprosessen elevene går gjennom både individuelt og som gruppe, altså veien til løsningene og ikke selve løsningen. Ved å samtale og diskutere løsninger underveis og i ettertid vil elevene kunne få innsikt i flere ulike løsningsmetoder og se at å tenke matematisk kan gjøres på ulike måter. Det er viktig å poengtere at forskningen om et tenkende klasserom ikke nødvendigvis er den beste måten å arbeide på i alle klasserom, men ved å ta i bruk enkelte av grepene vi har presentert over vil elevene kunne få en stor variasjon i undervisningen, de vil kunne bli flinke til å diskutere og argumentere i matematikkfaget, og ikke minst oppleve engasjerende undervisning. 

Referanser

Kazemi, E. & Hintz, A. (2014). Intentional talk : how to structure and lead productive mathematical discussions. Portland, Me: Stenhouse Publishers.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Liljedahl, P. (2019). Thinking classroom. [Bilde]. Hentet fra http://www.peterliljedahl.com/presentations?fbclid=IwAR1huAYThgyN2Q03PWebbYc9W9oKLIUNjMTWX4Y67_E-GPZWD3mB95noGCw

Liljedahl, P. (2016). Building Thinking Classrooms: Conditions for Problem Solving. Hentet fra https://www.researchgate.net/publication/275953429_Building_Thinking_Classrooms_Conditions_for_Problem_Solving

Utdanningsdirektoratet (2015). Vær bevisst i valg av oppgaver. Hentet fra https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/grunnleggende-ferdigheter/regning/god-regneopplaring/2.-var-bevisst-i-valg-av-oppgaver/

Van de Walle, J. A. & Lovin, L. H. (2005). Teaching Student-Centered Mathematics : grades 5-8. Boston: Allyn and Bacon.

Van de Walle, J. A. (2013). Teaching student-centered mathematics : developmentally appropriate instruction for grades 6-8 (2nd ed. utg.): Pearson.

Kandidat: 4 & 11