Problemløsning i Peter Liljedahls "Thinking Classroom"

Problemløsing  i Peter Liljedahls "Thinking Classroom"

Finnes det en undervisningsmetode som skaper en variert, dynamisk skolehverdag med engasjerte og aktive elever og som ikke krever avansert utsyr eller store økonomiske investeringer? En undervisningsmetode som kan bidra til å styrke de sosiale båndene i klassen samtidig som det gir elevene økt tro på egne ferdigheter, ikke bare i matematikk, men også andre fag? Basert på sin forsking på elevers læring i matematikk i over 10 år, har Peter Liljedahl et klart svar på dette; ja! Den canadiske professor i matematikk ved Simon  Fraser University har utviklet et rammeverk for matematikkundervisning han har kalt “Thinking classrooms”.  Hovedmålet hans var å skape en ramme som engasjerer elevene og gjør elevene at elevene tar en aktiv rolle i egen læring, men som også er relativt enkle for lærere å implementere. 

Grunnen til at jeg har valgt å lage et undervisningsopplegg basert på Liljedahls metode, er at forskningen virker meget overbevisende og jeg har sett det med egne øyne; hvordan helt konkrete, overkommelige endringer kan bidra til å skape et tenkende klasserom. I tillegg mener jeg at et slikt undervisningsopplegg vil være en passende måte å implementere den nye læreplanen som kommer i matematikk. Dessuten er det tydelig at elevene vil kunne få med seg erfaringer og kunnskaper som er nødvendig i videre skoleløp og i livet. 

Om “Thinking classroom” 

Så hva er et tenkende klasserom? 

(…) a thinking classroom is a classroom that is ot only conducive to thinking but also occasions thinking, a space that is inhabited by thinking individuals as well as individuals thinking collectively, learning together, and constructing knowledge and understanding through activity and discussion. It is a space wherein the teacher not only fosters thinking but also expects it, both implicitly and explicitly (Liljedahl, 2016)

Rammeverket for undervisningen består av en rekke elementer, eller grep, som læreren gradvis kan ta i bruk i undervisningen, og denne innføringen kan gjerne gå gradvis over flere år. De elementene som er enklest å ta i bruk kommer i første ledd, mens mer krevende endringer er lengre ned og kan gjøres når lærer og elevgruppe begynner å bli fortrolige med de forrige endringene (Liljedahl, 2016). 

 

Figur 1, (Liljedahl, u.a)

• Begynn med en problemløsningsoppgave 
• Lag synlige tilfeldige grupper 
• Bruk vertikale, ikke-permanente flater 

• Presenter problemet muntlig 
• Fjern “lærerveggen” 
• Besvar kun en type spørsmål: spørsmål elevene spør for å kunne komme tilbake eller videre i arbeidet  

• Sørg for at alle når en minimumsterskel- eller mål 
• Bruk hint i stedet for å gi svar for å gi arbeidet flyt videre 
• Vurderingsprosessen; er studentene involvert i sin læring? 

To av grepene Liljedahl har forsket på, er det skrevet mer om i artikkelen “Building Thinking Classrooms; conditions for problem solving” og disse to vil jeg se nøyere på.

Elevenes arbeidsplass 

Det første er elevenes arbeidssted. Liljedahls forskning viste at små endringer i arbeidsstedene, eller egentlig typen flater elevene skrev på, gav stor økning i målbar deltagelse. Indikatorer på deltagelse er listet vertikalt og endringene horisontalt. Indikatorer på deltakelse er for eksempel iver, utholdenhet eller kunnskapsutveksling. Tallene i tabellen går fra 0 til 3, der 0 er laveste og 3 er høyeste skår innenfor hver av kategoriene.   

	vertical whiteboard	horizontal whiteboard	vertical paper	horizontal paper	notebook
1.time to task	12.8 sec	13.2 sec	12.1 sec	14.1 sec	13.0 sec
2. time to notation	20.3 sec	23.5 sec	2.4 min	2.1 min	18.2 sec
3. eagerness	3.0	2.3	1.2	1.0	0.9
4. discussion	2.8	2.2	1.5	1.1	0.6
5. participation	2.8	2.1	1.8	1.6	0.9
6. persistence	2.6	2.6	1.8	1.9	1.9
7. non-linearity	2.7	2.9	1.0	1.1	0.8
8. mobility	2.5	1.2	2.0	1.3	1.2

  Figur 2 (Liljedahl, 2016) 

Disse ulike måtene å arbeide på ble tydelige for Liljedahl gjennom at han raskt oppdaget at elevene ble mer engasjert dersom de kunne skrive på tavla. Tavlene var det riktignok få av, og noen elever noterte på tavler som lå på pulten (horizontal whiteboard). Dette gav ikke samme engasjement, og var utgangspunktet for å gjøre disse undersøkelsene om elevenes arbeidsplass.  

Som en kan lese i tabellen skiller den vertikale whiteboarden seg ganske tydelig ut med høye tall. At elevene kunne skrive på en ikke-permanent overflate viste seg å spille en rolle for elevene: dersom det det de skrev var lett å endre på og ikke opplevdes som fastsatt, hadde elevene mindre problemer med å begynne det skriftlige matematiske arbeidet. Interessant! 

Film 1.

Her er det en video som tydelig viser bruken av vertikale whiteboards, i tillegg til andre trekk som kjenneregner arbeidsstilen i tenkende klasserom; grupper på maks 3 og en som skriver og en annen som snakker.

At elevene hadde større kontakt på tvers av gruppene ved bruk av vertikale whiteboards (8. Mobility, 2.5 poeng), er også noe jeg vil trekke frem. En slik deling av kunnskap er sterkt ønsket i norske klasserom, og dette er stadfestet i læreplanen gjennom verb som agrumentere og med andre(Udir, 2018). I tillegg vil en slik kontinuerlig kommunikasjon på tvers av elevgrupper, kunne bidra til mer enn bare å dele kunnskap. Tankesett og strategier vil kunne bli løftet frem og undersøkt som mer eller mindre konstruktive å bruke. Dette området er bare ett av eksemplene på at det er stor grad av samsvar mellom Liljedahls forkning og den forskningen som er samlet i Second Handbook, i kapittelet om problemløsning og modellering (Lesh og Zawojewski, 2007). Kanskje har enkelte elever produktive habits of mind, eller mentale vaner, som blir nyttige i problemløsning. Dette kan for eksempel være tendensen til å se etter mønster, bruke alternative representasjoner, gruppere eller ønske om å kunne forsvare en konklusjon (Lesh & Zawojewski 2007, s 775).

Innføringen av vertikale, ikke-permanente flater krever noe; enten god tilgang til vinduer eller innkjøp av whiteboards. Likevel er utbytte, dersom vi skal tro Liljedahl og lærerne han har arbeidet med, verdt pengene.  Nesten alle lærerne Liljedahl forsket med, ønsket å innføre tavlene med en gang, og en meget stor andel brukte dem også seks uker etterpå.  Flere brukte dem 6 uker etter, enn en uke etter, noe som kan ha praktiske forklaringer (innkjøp av tavler).

 

Figur 3 (Liljedahl, 2016) 

Gruppeinndeling 

Også grupperingble et fokusområde for Liljedahl og hans observasjoner tydet på at når lærerne delte gruppa strategisk, med det store innvendinger fra elevene, som kan ha et hovedsaklig sosialt mål. Denne motsetningen førte gjerne til at elevene ble misfornøyd med inndelingen, og dette kan de fleste som har vært lærer eller elev i skolen kjenne seg igjen i. “Er jeg med disse medelevene fordi jeg er dårlig i matte?” eller “Skal jeg være den flinke på denne gruppa og være den som tar styringa?” er tanker som kan dukke opp hos elevene.

Tilfeldige gruppering fjerner noe av dette problemet, men Liljedahl oppdaget at det var først når elevene tydelig fikk se at denne inndelingen var tilfeldig, at fordelene ble tydelige. Etter bare to til tre uker med slik synlig, tilfeldig inndeling hadde det skjedd en endring;

• Elevene ble mer tolerante for å jobbe med hvem som helst 
• Sosiale barrierer begynte å brytes ned 
• Kunnskapsdelingen økte 
• Avhengigheten av lærerkontakt for svar, sank 
• Elevene formet tydeligere svar innen- og mellom gruppene 
• Engasjementet og entusiasmen for oppgavene økte

•  (Liljedahl, 2016, s 16) 
• 
  

En mer dyptgående studie av en klasse ble gjennomført, og effektene ved lang tids bruk var de samme, og tydeligere. Spesielt at elevene ble mindre avhengig av læreren for å få svar og de så en tydelig økning av deltakelse og engasjement; to av Liljedahls klare tegn på et tenkende klasserom.

  

Dette er bare noen av Liljedahls grep som gir store endringer i klasserommet, men forskningen hans er klar: selv om effekten av grepene varierer, viste alle positiv endring, selv brukt alene (Liljedahl, 2016, s 26).  Men jo flere av dem, jo bedre, og sammen var de dynamitt! 

Problemløsning 

En av Liljedahls første grep er å begynne undervisningen med problemløsningsoppgaver. Oppgavene må være av rik karakter, og skal etter hvert som metoden er innarbeidet, være i henhold til faglige mål (Liljedahl, 2016, s 25).   

Film 2. 

Så hva er et problem? 

”A task becomes a problem when the «problem solver» needs to develop a more productive way of thinking about the given situation” (Lesh & Zawojewski,2007, s 782). 

 Denne beskrivelsen skiller ikke mellom skolematematikken og problemer utenfor skolen: den forteller oss at problemløseren, som kan være en person eller en gruppe, må utvikle en produktiv måte å tenke om situasjonen; aktiv deltakelse i tolkning og en eller annen form for modellering. 

Det har vært en lang tradisjon å bruke problemløsningsoppgaver på en “gjør-som-meg"-måte (Van de Walle, 2013, s. 15).  Dette innebærer at elevene lærer seg en rekke ferdigheter og deretter skal bruke disse i arbeidet med et problem. Dette kan minne om Stanic og Kilpatricks funn (gjengitt i Lesh og Zawojewski, 2007, s 781). Funnet var at det finnes et syn på problemløsningsoppgaver som sier at løsningen av disse oppgavene kun var å bruke et sett med innlærte ferdigheter. Denne tradisjonen og synet står i sterk kontrast til det som blir omtalt som fremtidens behov for problemløsere; nye teknologiske verktøy skaper behovet for tydelig kommuniserende, nytenkende problemløsere (ibid, s 782).  Og å bruke et sett med fremgangsmåter er nok ikke det som skal til for å skape disse ferdighetene. Tvert imot bør problemløsningsoppgaver være et redskap for læring; læring gjennom problemløsing og gjennom å skape matematiske modeller (Lesh og Zewojewski, 2007, 782). 

Forholdet mellom disse to ulike retningene blir fremstilt i figuren under.  

Learning to solve “real life” problems is assumed to involve four steps  1. First, master the prerequisite ideas and skills in decontextualized situations.  2. Practice the newly mastered ideas and skills on word problems designed to require the use of the learned precure.  3. Learn general content- independent problem-solving process and heuristics.  4. Finally (if time permits), learn to use the preceding ideas, skills, and heuristics in messy “real life” situations (i.e, applied problems) where additional information may also be required.

Solving applied problems involves making mathematical sense of t he problem (by paraphrasing, drawing diagrams, and so on) in concert with development of a sensible solution. Understandings not thought of as being an all-or-nothing situation, and mathematical ideas and problem-solving capabilities co-develop during the problem-solving process. The constructs, processes, and abilities that are needed to solve “real life! Problems (i.e., applied problems) are assumed to be at intermediate stages of development, rather than “mastered” prior to engaging in problem solving.

Figur 4 (Lesh og Zewojewski, 2007, s 783) 

Som tidligere nevnt, kan Liljedahls innføringer gjøres gradvis, da målet ikke kun er å lære elevene en spesiell måte å løse problemer på, men å gjøre en strukturell endring på individ -og gruppenivå. Dette gjelder også holdninger og kunnskaper knyttet til prosessen med problemløsning, for det viser seg at det finnes mange antagelser om problemløsning blant elever. Mange av disse kan ha negativ innvirkning på elevenes mulighet for læring, og å gi elevene andre erfaringer med problemløsing, kan ta tid. Eksempler på slike antagelser er at problemer bare har ett svar, at problemløsning kun er for “matematisk sterke” elever, problemløsning er en individuell aktivitet og at problemløsning har lite med livet utenfor skolen å gjøre (Lesh og Zewojewski, 2007, s 776).   

Mål 

Ser man på Liljedahls forskning og alle fordelene som kommer ved å bruke disse grepene, er det fristende å si at det er et mål i seg selv å skape et tenkende klasserom. I startfasen av arbeidet anbefaler Liljedahl å ha som hovedmål å bare arbeide med og få engasjement gjennom fengende problemer, mens mer tematisk målrettede oppgaver kan komme senere. Selv om vi hadde holdt oss til dette, vil vi uansett likevel arbeide med flere av kompetansemålene i den nye læreplanen i en slik type økt. Dette kan kanskje være tegn på en overensstemmelse mellom Liljedahl og Udanningsdirektoratet om hva matematikk er og hva som bør arbeides med?

Økta er planlagt for 8. trinn og disse kompetansemålene er noen av dem som kommer til å bli arbeidet med; Eleven skal kunne... 

• utvikle og bruke formålstenlege strategiar for arbeid med reelle tal i dei fire rekneartane, gjere greie for eigne tenkjemåtar og grunngi val av strategi 
• bruke reelle tal i modellering og problemløysing og vurdere andre sine løysingar opp mot eigne løysingar 
• bli stadig meir uthaldande gjennom å stille matematiske spørsmål og teste ulike løysingsforslag på opne oppgåver åleine og saman med andre (Udir, 2018) 

I tillegg vil en arbeidsmåte som denne, i aller høyeste grad være i tråd med første kjerneelement, Utforsking og problemløysing. Det trekkes blant annet frem at dette er det viktigste elementet for faget og at det må legges mer vekt på strategier og fremgangsmåter enn selve løsningen. Elevene skal utvikle egne løsningsmetoder på ukjente problemer. Matematiske spørsmål og problemstillinger, identifisering av et problem og utholdenhet nevnes, i tillegg til at elevene må få kunne være nysgjerrig på fagstoff også utenfor matematikken de møter på sitt trinn. For å oppnå dette vil rike problemoppgaver med "high ceilings" gi rom for slik  utforsking.

Undervisningsopplegget 

I undervisningsopplegget brukes noen av Liljedahls grep. Opplegget lages til en klasse som er i en fase der de fortsatt lærer å bruke de ulike metodene, og synlig tilfeldige grupper er blitt tatt i bruk. Det samme har vertikale, ikke-permanente flater å skrive på, at timen begynner med en problemløsningsoppgave og at denne blir gitt muntlig, ikke skriftlig. Liljedahls anbefaling om romorganisering er også tatt i bruk, noe som innebærer at det ikke er en vegg som er læreren sin, i stedet har alle vegger potensiale som fokusområder. Dette grepet kaller han de-fronting.  

Timen begynner med at elevene deles i tilfeldige grupper, noe som enkelt kan gjøres fysisk med navn på lapper eller brikker i en boks, eller via en app eller nettside på smartboarden. At vi begynner på problemet helt til å begynne med, tydeliggjør vårt ønske om å lære gjennom problemløsning, ikke bruke det som en relativt verdiløs “bonus” i  slutten av timen, noe som har vært en tradisjonell tendens. 

Elevene går i gruppene og lærer leser opp problemet:

Det er sommerferie og snekring med pappa. Dere har fått i oppdrag å lage små fuglekasser fra den lokale ornitologsklubben. De har gitt dere en 12 m med planke og lurer på noen ting. 

• Hvor mange fuglekasser kan dere lage hvis det til hver kasse trengs ½ m planke? 
• Hva med hvis dere lager noen som trenger ¼ m planke? Flere? Færre? Kan du finne det ut uten å regne helt på nytt? 
• Hva hvis kassene trenger ¾ m med planke? Blir det flere eller færre enn i de forrige tilfellene? Forklar

Etter en stund kan ekstra spørsmål stilles fra lærer ut til alle eller utvalgte grupper.

• På hvilke ulike måter klarer dere å løse disse problemene? 
• Hva med regnestykket 10: ¼? 
• Hva er sammenhengen mellom dette og de forrige problemene? 
• Eller 20: 5/4? 
• Hva skjer med antallet kasser i spørsmålet over dersom vi har 9 m planke? 6 m? Hvorfor er det slik?
• Klarer dere skape liknende utfordringer for hverandre i helt andre situasjoner?

Elevene setter i gang med arbeidet på tavlene sine.  Dersom vi ser tilbake på figur 2 under hvilke indikatorer på deltagelse som kan identifiseres ved endring av elevenes skriveflate, kan en se en betydelig økning i elevenes utholdenhet ved arbeidet på tavlene (fra 1.9 i notatbok til 2.6 ved bruk av vertikal whiteboard). Dersom en skulle få samme positive effekt, vil dette legge et godt grunnlag for arbeidet med i alle fall et av øktas kompetansemål!

Underveis vil din jobb som lærer være å være tilgjengelig, men oppfordre elevene til å forklare seg for hverandre. Dersom elevene spør om de har gjort riktig, skal spørsmålet anerkjennes, men ikke svares på. Oppfordre heller elevene til å vurdere sin argumentasjon- kanskje kan de innad i gruppa klare å finne ut om den er gyldig.  

Etter en stund kan det skje en form for “level to the bottom” eller å få med seg alle. Elevene kan samles rundt en tavle. Ved å få oversikt over hva slags strategier elevene har brukt, kan du som lærer velge ut noen grupper som kan dele sine løsninger og kunnskaper høyt. Kanskje finner andre elever ut underveis at de likevel ønsker å komme med bidrag. Her kan vi se at Liljedahls grep har tydelige likhetstrekk med for eksempel Kazemi og Hintz samtalegrep kalt strategideling (Kazemi & Hintz, 2014,s 17). Det er ikke overraskende at ulike forskere som har arbeidet parallelt innenfor samme felt, kommer frem til noen av de samme ideene.  

I et arbeid som dette vil det være til god hjelp å ha etablert noen regler som Kazemi og Hintz (2014, s 19) foreslår: 

• Vi fortsetter å prøve når ting blir vanskelig 
• VI godtar feil 
• Vi deler matematiske ideer 
• Vi lytter for å forstå 
• Vi spør for å forså 
• Vi er enige og uendige rundt matematiske ideer, ikke med hverandre personlig 
• Alle har gode matematiske ideer å komme med

I denne delingen bør ulike løsninger trekkes frem. Enkelte har antagelig valgt å løse oppgaven ved å tegne, mens andre kan ha gjort om brøken til desimaltall og regner ut ved å bruke kjente metoder. 

Utfordre elevene på nye representasjoner og på argumentasjon i arbeidet sitt.  Kan du stille spørsmål eller veilede elevene til å arbeide på et kognitivt høyere nivå? Dersom elevene kan algoritmene og ser dette med en gang; kan du utfordre dem til å løse dem uten? Eller forklare hvorfor algoritmen fungerer? Et bredere spekter av fremstillinger vil også sette slike økte krav (Van de Walle, 2013, s 20).  

Mot slutten av timen kan også en diskusjon rundt begrepene delingsdivisjon og målingsdivisjon løftes frem.  Hva er det som egentlig skjer når vi deler på en brøk? Hva er forskjellen mellom begrepene?  Har vi gjort deling i mindre mengder for å finne ut hvor mye i hver mengde, eller funnet antall delmengder uten fokuset på størrelsen på disse? Hva kunne vi gjort annerledes og hva kan være veien videre?  

Lykke til med arbeidet! 

Kilder 

Kazemi, E. & Hintz, A. (2014). Intentional talk : how to structure and lead productive mathematical discussions. Portland, Me: Stenhouse Publishers. 

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804. 

Liljedahl, P. (2016). Building Thinking Classrooms: Conditions for Problem Solving. Hentet 16.10.2019, fra https://www.researchgate.net/publication/275953429_Building_Thinking_Classrooms_Conditions_for_Problem_Solving 

Liljedahl, Peter; uå. Building thinking classrooms. Hentet fra : http://peterliljedahl.com/wp-content/uploads/Buildin

Udir. (2018) Matematikk fellesfag. Sist hentet 20.10.19 fra  https://hoering.udir.no/Hoering/v2/286?notatId=573 

Van de Walle, J. A. (2013). Teaching student-centered mathematics : developmentally appropriate instruction for grades 6-8 (2nd ed. utg.): Pearson. 

Film 1: Eudotopia (2018). Learning on their feet hentet fra https://www.youtube.com/watch?time_continue=202&v=6Ri1vNQBk6I 

Film 2: Statped (2018). Erfaringer med rike oppgaver hentet fra https://www.youtube.com/watch?v=IqZ9dyLYXyA