Problemløsningsoppgave i Matematikk
Her i Norge er ordet problemløsning gjenkjennbart innenfor matematikkfaget. I den gamle læreplanen, LK-06, står begrepet problemløsning i formålet for faget. Det er spesifisert at matematisk kompetanse innebærer å bruke problemløsning og modellering til å analysere og omforme et problem til matematisk form, løse det og vurdere gyldigheten av løsningen (Utdanningsdirektoratet, 2013). Fagfornyelsen, som UDIR arbeider med i disse dager, trekker fram problemløsning som et kjerneelement i faget (Utdanningsdirektoratet, 2018).
Mer problemløsning og mindre fag i skolen!
I en rapport fra Royal Academy of Engineering konkluderer de med at skolen burde jobbe mindre med fag og mer med problemløsning (Royal Academy of Engineering, 2017). Ved hjelp av tre pilotprosjekter i Storbritannia og vektlegging av lekende eksperimentering i undervisningen har de funnet klare forbedringer. Det gjaldt ikke bare forbedringer i elevenes vitenskapelige- og matematiske kunnskap, men også i elevenes kunstneriske ferdigheter, kommunikasjonsevner og selvtillit.
 |
| Foto: PublicDomainPu |
Fokus på problemløsning er høyt i land som gjør det godt i matematikk. Kongelf (2011, referert til i Torkildsen, 2017, s. 3) trekker fram Singapore som et eksempel. Rammeverket for læreplanen der ser på problemløsning som selve kjernen i matematikkundervisningen. Eksempel på dette er at lærebøker i landet vier hele kapitler til problemstilling. Fokuset i kapitlene er på strategier for problemløsning.
 |
| Foto: Gonitsora |
Hva er problemløsning?
Problemløsning handler om at elevene skal utvikle løsningsmetoder på et problem de ikke kjenner fra før (Utdanningsforbundet, 2018). En viktig del av læringen er å utvikle strategier og framgangsmåter for å bryte ned et problem i ulike delproblem som kan løses systematisk.
A task becomes a problem when the «problem solver»
needs to develop a more productive way of thinking about the given situation
- Lesh & Zawojewski (2007)
Lesh & Zawojewski (2007, s. 782) definerer problemløsning slik som sitatet sier. En oppgave blir et problem når problemløseren må utvikle en mer produktiv tenkemåte for å løse den gitte situasjonen eller oppgaven. Matematisk problemløsning handler om å se situasjoner matematisk, og ikke bare utføre regler og prosedyrer. Å se situasjoner matematisk betyr å tolke, forklare og diskutere de gitte situasjonene.
Ulike syn på problemløsning
Tar vi utgangspunkt i definisjonen gitt over tenker vi at mennesker lærer matematikk gjennom problemløsning og de lærer problemløsning gjennom å skape matematikk. Lesh & Zawojewski (2007, s. 783) viser til to ulike perspektiv på problemløsning. Det første er det tradisjonelle perspektivet på problemløsning. Perspektivet har en antakelse om at hverdagslige problemer er de vanskeligste problemene å løse. Derfor blir det først lært prosedyrer som blir praktisert i tekstoppgaver og problemløsningsstrategier. Deretter er det tid for å løse problemer fra hverdagssituasjoner hvor gjerne ekstra informasjon blir gitt. Som vi ser av figur 1 ser vi at anvendelse av problemløsning kommer i den innerste sirkelen, altså anvendelse av problemløsning kommer bare som en undergruppe av tradisjonell problemløsning.
 |
| Figur 1: Van del Walle |
 |
| Figur 2: Van de Walle |
Det andre perspektivet er modell- og modelleringsperspektivet på problemløsning. Her skjer læringa av matematikk gjennom modellering. Elevene begynner læringen ved å utvikle modeller for å forstå hverdagssituasjoner hvor det er nødvendig å skape en matematisk tankegang. De tilegner seg en økende forståelse over både problemsituasjonen og sin egen mattematisering av problemet. Ut fra figur 2 ser vi at anvendt problemløsning er hovedfokuset her. Tradisjonell problemløsning kommer som en undergruppe av det.
Arbeid med problemløsning
Når man som lærer skal arbeide med problemløsning i matematikk er det viktig å gi elevene utfordringer de ikke umiddelbart klarer å løse. Elevene skal få tid til å gruble og «leke» med problemet. De må få teste ut idéer, prøve, feile og vurdere sine framgangsmåter underveis (Pennant, 2013).
Teaching mathematics through problem solving is a
method of teaching mathematics that helps students develop relational
understanding.
(Van de Walle, 2013)
I mange år har matematikk blitt undervist med en «undervisning for problemløsning»-tilnærming. Tilnærming handler om at læreren presenterer matematikken, elevene lærer seg framgangsmåten læreren har forklart og slik løser elevene problemet ved hjelp av den samme framgangsmåten. Denne tilnærmingen, som Van de Walle (2013, s. 14) kaller «do-as-I-show-you»-tilnærmingen til matematikkundervisning har ikke resultert i at elevene forstår eller husker konsepter bak matematikken.
Som lærer å skulle undervise slik at elevene lærer gjennom problemløsning krever at man legger ned stor innsats. Man må endre måten man tenker at elevene lærer best og hvordan man best mulig kan hjelpe dem. Med problemløsningsundervisning kan det ved første øyekast se ut som læreren har en mindre krevende rolle, men i slike klasserom er det faktisk mer krevende. Van de Walle (2013, s. 14) vektlegger spesielt tre oppgaver læreren må ha fokus på:
- Velg gode oppgaver hvor elevene lærer innholdet ved å utvikle egne strategier og løsninger.
- Spør gode spørsmål hvor elevene må vurdere sine strategier.
- Lytt til elevenes tilbakemeldinger og undersøk arbeidet deres, og bruk utvalgte tilbakemeldinger til å utvide deres tankegang.
- Problemet skal engasjere elevene uansett hvilket kompetansenivå de ligger på. Viktig at elevene har passende ideer for hvordan ta fatt i problemløsningsoppgaven, men fortsatt skal problemet være utfordrende og interessant.
- Problemet må ha relevans i forhold til matematikken elevene skal lære. Når elevene jobber med problemløsningsoppgaven, skal prosessen hjelpe dem med å utvikle og forstå matematikken som framkommer av problemet.
- Problemet må kreve begrunnelser og forklaringer for svar og metoder. Gode problemer kjennetegnes ved at prosessen eller svaret er matematikkregning rett fram. Elevene må skjønne at deres matematiske resonnement forteller dem om svaret er feil, ikke at læreren forteller dem om det er rett eller galt.
Faser i problemløsningsundervisning
Van de Walle (2013, s. 26) beskriver en måte man kan dele opp arbeidet med problemløsningsundervisning. Den er delt i tre ulike faser; før-fasen, underveis-fasen og etter-fasen.
Før-fasen:
Her forbereder du elevene på å jobbe
med problemet. Du må også være sikker på at elevene har forstått problemet.
Ikke hvordan de løser det, men hva det mener.
Underveis-fasen:
I underveis-fasen av undervisningen
skal elevene utforske problemet. Det kan enten være alene, i par eller, mindre
grupper. Det du som lærer vil få muligheten til er å finne ut hva dine elever
kan, hvordan de tenker og hvilke strategier de bruker for å løse problemet.
Etter-fasen:
Til slutt vil elevene jobbe i
fellesskap, diskutere og prøve ulike strategier som alle har brukt. Det er
spesielt viktig å bruke tid i denne fasen. I denne fasen er det også viktig at
presise definisjoner og bruk av symboler til slutt blir presentert av læreren.
Her skjer mye av læringen hos elevene.
I alle fasene av problemløsningsarbeidet er det krevende arbeid for læreren. Van de Walle presiserer at det er viktig å bruke tid i etter-fasen. Som nevnt skal elevene i fellesskap diskutere og prøve ulike strategier. For at dette arbeidet skal være vellykket er det viktig å ha regler for aktiviteten i klasserommet. Reglene skal hjelpe alle elever med å tørre å dele sine strategier. Vi kan nevne noen av reglene Kazemi & Hintz (2019, s.31) trekker fram for å hjelpe til med åpen strategideling.
I denne klassen gjør vi dette:
- Husker at det er greit å gjøre feil og deretter å endre måten å tenke på
- Deler matematiske ideer med medelevene våre
- Lytter for å forstå andres ideer
- Vi er enige og uenige om matematiske ideer, ikke enige og uenige med hverandre
- Husk at alle har gode matematiske ideer
Undervisningsopplegg
Undervisningsopplegget som presenteres under tar utgangpunkt teori/forskning som er redegjort for tidligere i bloggen. Hvordan elever lærer matematikk gjennom problemløsning og hvordan man går fram for å arbeide med godt med problemløsningsoppgaver er sentrale temaer. Undervisningsopplegget er basert på en oppgave presentert i en matematikktime. Tidsbruk er noe usikkert, men det må påregnes god tid til de ulike fasene i problemløsningsundervisning.
 |
| Foto: Skjermdump YouTube |
Læreplanmål
I forhold til læreplanen i matematikk tar undervisningsopplegget utgangspunkt i to læreplanmål. Det første er fra LK-06 (Utdanningsforbundet, 2013) og det andre er fra fagfornyelsen (Utdanningsforbundet, 2018). Disse er kompetansemål etter 7.årstrinn, altså opplegget burde passe for mellomtrinnet:
- stille opp og løse enkle ligninger, og løse opp og regne med parenteser i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tall
- bruke ulike strategier for å løse lineære likninger og ulikheter
Vi bruker Van de Walles (2013, s. 26) tre faser i planleggingen av undervisninga.
Oppgave
Lars, Helene og Morten er søsken. De skal på ferie og foreldrene deres må vite hvor gamle de er for å fylle inn i flybilletten. Foreldrene deres er gamle, og husker derfor ikke alderen på sine barn. Lars er en skøyer og forteller ikke til foreldrene hvor gamle de er, men kommer med noen hint. Foreldrene er til sammen 148 år. Det er 48 år mer enn det Lars, Helene og Morten er til sammen. Morten er 8 år yngre enn Lars, og Helene er dobbelt så gammel som Lars. Kan dere hjelpe foreldrene med å vite hvor gamle Lars, Helene og Morten er?
1. Del ut problemet til klassen. La de få noen minutter på å lese oppgaven. Spør deretter om klassen har forstått problemet, og vet hva de skal hjelpe til med.
2. Lag små grupper og la de få hvert sitt hjørne av klasserommet til å jobbe med problemet. Mens elevene jobber med problemet, går du rundt i klasserommet og lytter til hva elevene gjør. Kanskje oppdager du ulike løsningsmetoder og ulike strategier. Når du går rundt vil du også merke når elevene begynner å bli ferdig med å løse problemet.
3. Når du går over i etter-fasen kan du sette elevene i større grupper eller hele klassen i fellesskap. La elevene dele sine løsninger og strategier. Gå en runde rundt gruppen, kanskje er det noen som har ulike løsninger.? Be elevene om å vurdere sine og andres løsningsmetoder.
De ulike løsningsmetodene er viktige å huske for å ta opp dette senere i undervisninga.
Forhåpentlig vis vil du få grupper som har brukt ulike personer som X. Da vil du få ulike likninger med ulikt svar på X, men som hjelper til med å svare på det opprinnelige problemet.
Planlegging
I planlegginga av problemløsningsøkta er det viktig å legge til grunn hvilket syn du vil ha på problemløsning og hvordan du vil jobbe med dette. Et godt tips er å bruke Van de Walles tre punkter på hva lærerens rolle er og planlegge i forhold til du ulike fasene. En stor del av problemløsning er å være muntlig aktiv, også for læreren. Ha fokus på hvordan du legger opp den muntlige aktiviteten i klasserommet og hvordan du kan forberede dette på en god måte.
Lykke til med å prøve ut dette selv!
Referanser:
Kazemi, E. & Hintz, A. (2019). Målrettet samtale: Hvordan strukturere og lede, gode matematiske diskusjoner. (1.utg). Oslo: Cappelen Damm AS
Lesh, R. and Zawojewski, J.S. (2007) Problem Solving and Modeling. In: Lester, F., Ed., Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 763 – 804). Greenwich, CT
NRK Skole (2017, 22.feb). Problemløsningsoppgaver løst med ligninger [Videoklipp] Henter fra: https://www.youtube.com/watch?v=pv96hotgpTs
Pennant, J. (2013). Developing a Classroom Culture That Supports a Problem-solving Approach to Mathematics. Lastet 09.10.19 fra http://nrich.maths.org/
Royal Academy of Engineering. (2017). LEARNING TO BE AN ENGINEER: Implications for the education system. Hentet fra https://www.raeng.org.uk/publications/reports/learning-to-be-an-engineer
Torkildsen, S. H. (2017). Matematisk problemløsning. Matematikksenteret. Hentet fra https://www.matematikksenteret.no/sites/default/files/media/filer/MAM/Torkildsen%20Matematisk%20Probleml%C3%B8sing.pdf
Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk fellesfag (MAT1-04). Hentet fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04?lplang=http://data.udir.no/kl06/nob
Utdanningsdirektoratet. (2018). Matematikk fellesfag. Hentet fra https://hoering.udir.no/Hoering/v2/286?notatId=573&fbclid=IwAR2uWnn3nxqYDMuMR0_-JwXvko_KG9qDwPs1TI3AkFGdlRc3hgNPvj5zyeQ
Van de Walle, J. A. (2013). Teaching student-centered mathematics : developmentally appropriate instruction for grades 6-8 (2nd ed. utg.): Pearson.
Kommentarer
Legg inn en kommentar