Problemløsningsoppgave med fokus på brøk

Kandidatnr. 1

Det finnes en inngrodd holdning til at matematikk er et vanskelig fag, og man kan ofte høre at «matematikk er noe man gjør, ikke noe man forstår» (Powell, et al., 2009, s. 133). Av egne erfaringer i praksis har jeg ofte fått høre at «Foreldrene mine var ikke gode i matematikk, dermed er ikke jeg det heller». Dette er noe som henger igjen fra min egen skolegang. Matematikk var faget som inneholdt masse tall og regler. Læreren gikk gjennom lærestoffet på tavlen mens elevene skulle skrive ned regler og prosedyrer i egen regelbok, og deretter pugge reglene og gjøre repetitive oppgaver. Reglene ble fulgt slavisk og gjorde jobben for elevene, og de fleste kunne verken forklare eller vise hvorfor de fungerte. Dette kan relateres til tradisjonell matematikkundervisning. Alrø og Skovsmose (2006) definerer tradisjonell matematikkundervisning som en undervisning der tavleundervisning og løsning av rutineoppgaver dominerer (Alrø & Skovsmose, 2006, s. 110).

Stein Arnold Berggren
Bilde 1, hentet fra hiof.no

Stein Arnold Berggren er en høgskolelektor ved Høgskolen i Østfold, og underviser i matematikk på grunnskolelærerutdanningen 5.-10.-trinn. Han mener at matematikk er et fag som krever høy egeninnsats og arbeid for å kunne lære det (Berggren, 2017). Uten egen arbeidsinnsats fra elevene hvor de jobber med matematikk, vil det være umulig å lære seg slik som brøkregning og gangetabell. Berggren forteller videre at pugging ofte kommer ut som taperen i konkurransen med andre ting som oppleves mer spennende og gøy.

TIMSS-undersøkelsen fra 2007 viser at motivasjonen til faget matematikk synker fra 4. til 8. trinn, og at den ytre motivasjonen er større enn den indre motivasjonen på 8. trinn (Grønmo & Onstad, 2009). Vi ser at elevene mister den iboende nysgjerrigheten over tid, og søken etter hvordan ting fungerer forsvinner. Mitt mål med dette undervisningsopplegget er å undervise elevene på en måte som gjør at de slipper å pugge en mange regler, og skape en dypere forståelse av matematikk og hvorfor den fungerer.

Matematisk forståelse

Matematikkundervisningen i Norge skal ha hovedfokus på å bygge en bred matematisk forståelse hos elevene, fremfor å pugge prosedyrer, begreper og algoritmer (Utdanningsdirektoratet, 2013, s. 4). For å forstå hvordan elevene forstår matematikk vil jeg bruke Richard Skemp (1978) sitt teoretiske rammeverk for forståelse. Skemp skiller mellom to typer matematisk forståelse, instrumentell og relasjonell. Instrumentell forståelse kalles for regler uten tanker. Her bruker man regler og algoritmer, men klarer ikke helt å forklare hvorfor disse fungerer og blir avhengige av reglene for å løse en oppgave. I tillegg klarer man ikke å sammenligne og trekke linjer mellom ulike begreper og prosedyrer. Et typisk undervisningsopplegg med instrumentell forståelse inneholder er sett av fikserte opplegg som løses med forutgitte steg-for-steg-prosedyrer. Eksempel på instrumentell forståelse kan være å gange teller med teller og nevner med nevner i brøk, skifte fortegn når man flytter over i likningsløsning og låne i subtraksjon  (Skemp, 1978, s. 20-21).

Relasjonell forståelse handler om å kunne beherske begreper, prosedyrer og algoritmer, og vite hvorfor de fungerer slik som de gjør. Man klarer å se sammenhenger mellom de forskjellige prosedyrene i et strukturert nettverk, som medfører at man er i stand til å løse en oppgave på flere måter enn en bestemt måte (Skemp, 1978, s. 20). Ved å utforske verden og se sammenhenger kan elevene oppnå relasjonell forståelse.

Problemløsning

Å lære matematikk gjennom problembasert undervisning, eller gjennom problemløsning, er en undervisningsmetode som hjelper elevene med å bygge en relasjonell forståelse (Van de Walle, Bay-Williams, Lovin, & Karp, 2014, s. 13). Her skal elevene inkluderes i læringen, og bli gitt utfordrende oppgaver hvor de skal finne løsningen på et problem. I mange år har matematikk blitt undervist med å bruke en tradisjonell tilnærming: Læreren presenterer matematikken, elevene øver på ferdigheten de har fått presentert, og til slutt løser elevene problem oppgaver som krever bruk av denne ferdigheten. Å undervise i matematikk gjennom problemløsning betyr at elevene må løse problemer for å lære ny matematikk, i stedet for å bruke matematikken etter at den har blitt lært. Her blir problemet presentert i starten av undervisningen, og elevenes ferdigheter og ideer dukker opp fra å jobbe med problemet selv (Van de Walle, Bay-Williams, Lovin, & Karp, 2014, s. 14).

Når man jobber med problemløsningsoppgaver handler det ikke om å jobbe repetitivt med oppgaver som inneholder samme regeloppskrift, men å få en forståelse for selve matematikken bak. Problemløsning tvinger elevene til å måtte tenke selv, tenke logisk og resonnere seg frem til forskjellige strategier for å løse et problem.

Van de Walle (2014) skiller mellom tre faser som gir struktur over undervisningen når man skal gjennomføre en problembasert undervisningsøkt; før-, under- og etterfasen. Jeg tar utgangspunkt i denne, dermed gir jeg en kort beskrivelse av hendelsesforløpet (Van de Walle, Bay-Williams, Lovin, & Karp, 2014, s. 26):

I førfasen forbereder du elevene til å jobbe med problemet. I denne delen kan du analysere problemet du skal gi til elevene for å forutse elevenes løsninger og mulige feiloppfatninger som kan oppstå. Dette kan hjelpe å forme spørsmålene du stiller elevene i begynnelsen av undervisningen for å tydeliggjøre problemet til dem og aktivere elevenes tidligere kunnskap om temaet. Her skal du ikke gi elevene hvordan de skal løse problemet, bare gi dem en forståelse av hva problemet er.

I underfasen undersøker elevene problemet (alene, med partnere eller i små grupper). Her får du mulighet til å finne ut av hva elevene vet, hvordan de tenker og hvordan de jobber med oppgaven som er gitt. Som lærer skal man ikke evaluere eller fortelle elevene hvordan de skal løse problemet. Hvis en elev spør om en metode eller et resultat er riktig kan du spørre om hvordan eleven bestemte seg for denne metoden, eller hvorfor tror eleven at svaret er riktig, og eventuelt om det virker fornuftig det de har funnet ut? I underfasen kan lærer gå rundt å identifisere forskjellige strategier og representasjoner som elevene kommer opp med, interessante løsninger og eventuelle feiloppfatninger som du vil fremheve i etterfasen av økten.

I etterfasen vil elevene jobbe sammen i et lærende fellesskap hvor de diskuterer, forsvarer og utfordrer forskjellige løsninger på problemet som de nettopp har jobbet med. Det er viktig å planlegge og ha god tid i etterfasen for å få en god klassediskusjon og idéutveksling. Læringen skjer når elevene reflekterer individuelt og med andre over løsningene de har funnet. Lytt til elevene når de presenterer, still spørsmål som hjelper dem med å finne sammenhenger mellom ulike strategier, og som hjelper dem med å forstå. Etter elevene er ferdig kan lærer oppsummere hoved idéene og sammenhenger mellom de ulike strategiene.

Undervisningsopplegg

I mitt undervisningsopplegg ønsker jeg at elevene skal kunne bruke konkretiseringsmateriell til å finne fellesnevner for brøker ved å utvide og forkorte dem. Elevene bli tildelt oppgaver hvor de skal addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Jeg vil at de skal jobbe og utforske sammen i små grupper med problemløsningsoppgaver gitt fra lærer. Konkretiseringsmateriellet er valgfritt, men skal hjelpe elevene med å gjøre innlæringen av brøk lettere.

I læreplanen i matematikk fellesfag finner vi et kompetansemål innen hovedområde «Tal og algebra» som formuleres slik (Kunnskapsdirektoratet, 2013):

«Mål for opplæringen er at eleven skal kunne finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar».

Læringsmål for timen vil være å finne fellesnevnere, for å kunne addere og subtrahere brøker med forskjellige nevnere. Ved enden av timen skal elevene kunne utvide og forkor­­te brøker, forstå hva minste felles multiplum er, hvordan man finner den og se at det tallet kan brukes til felles nevner ved addisjon og subtraksjon av brøk.

Oppgave

Konkretiseringsmateriell for brøk
Bilde 2, hentet fra udir.no

Hvordan kan man addere eller subtrahere brøker med ulik nevner? Elevene skal finne summen av 1/2 + 1/3. Elevene deles i grupper på 3-4 stk. hvor de sammen skal utforske problemet. Brøksirkler evt. annet konkretiseringsmateriell blir fordelt på gruppene som hjelpemiddel. Etterhvert som elevene har jobbet med flere slike utfordringer vil de utvikle en forståelse for at brøkene må deles opp i mindre deler, for å kunne måles med de små brøkdelene.

Elevene må skrive ned strategiene og løsningene slik at lærer kan observere fremgangsmåtene for å finne summen. Dette kan være på selve oppgavearket, i skriveboka eller de kan få utlevert et A3 ark hvor de skal presentere løsningen for resten av klassen mot slutten av timen.

Førfasen

Jeg forventer at elevene har forkunnskaper om hva brøk er og hvordan man adderer og subtraherer brøker med like nevnere. I tillegg er det vesentlig at elevene kan utvide og forkorte brøker. I førfasen (beskrevet over) er det viktig å forutse løsninger og mulige misoppfatninger som kan oppstå. En mulig løsning kan være at elevene finner minste felles multiplum og adderer tellerne etterpå. En mulig misoppfatning kan være at eleven i stedet for å finne minste felles multiplum tar utgangspunkt i nevneren med størst tall og bruker det som fellesnevner ved å addere de manglende sifrene på den minste nevneren. Selv om eleven her finner en lik nevner blir det feil da brøkene ikke har samme verdi som de tidligere hadde.

For å presentere problemet til elevene er det lurt å diskutere og repetere tidligere kunnskap om hvordan man skriver ekte brøk på ulike måter, addere og subtraherer brøker med like nevnere, og utvide og forkorte brøker. Dette kan lærer bruke 5-10 minutter på. Deretter deler du ut problemløsningsoppgaven til elevene, lar dem lese den og sørger for at alle elevene har forstått problemet.

Underfasen

Etter elevene har fått utdelt oppgaven og har forstått problemet, deler du dem i små grupper på 3-4 personer, og lar dem få sitte sammen å løse oppgaven. Her går lærer rundt og sjekker om elevene klarer å jobbe seg frem til en mulig løsning, og kan veilede dem hvis dem står fast. Det er viktig at læreren ikke røper for mye om løsningen til oppgaven, men heller spør veiledende spørsmål til eleven. Sitter elevene helt fast kan lærer glippe begrepene felles nevner og minste felles multiplum, uten å forklare så mye mer rundt begrepene. Dette kommer senere i timen. Samtidig som læreren veileder elevene kan hun finne forskjellige løsninger som vil være relevante og ta i plenum på slutten av timen. Det er viktig at elevene skriver ned løsningene sine i egen bok eller på eget ark, siden man får bruk for det i etterfasen. Jeg vil beregne 15-20 minutter på denne fasen.

Etterfasen

I etter fasen kan læreren velge å ta alt i plenum, eller å sette elevene i større grupper hvor de kan presentere løsningene for hverandre. I mitt undervisningsopplegg lar jeg elevene få komme frem på tavlen og presentere sin løsningsstrategi til de andre, for så å skape en matematisk samtale sammen i klasserommet. Dette er en tidkrevende økt som gjør at læreren må planlegge god tid for felles gjennomgang. I mitt tilfelle går jeg ut fra at elevene er vandt med problemløsningsøkter hvor de skal presentere løsninger selv og beregner 20 minutter av økten til dette. Hvis du har en klasse som ikke er vandt til denne typen undervisningsøkt, kan det være lurt å beregne mer tid til denne fasen, eller benytte seg av enklere problemløsningsoppgaver for å introdusere denne typen undervisning.

Hvis ikke lærerens måte å addere å subtrahere brøker med ulik nevner kommer frem, kan denne også presenteres (hvordan finne minste fells multiplum). Her kan man sammenligne de ulike løsningsstrategiene, finne fordeler og eventuelle ulemper. I tillegg til dette kan man gjerne diskutere med elevene om hvorfor vi må finne en fellesnevner for å addere å subtrahere brøker? Finnes det flere metoder å finne fellesnevnere på? Hva skjer hvis man multipliserer nevnerne med hverandre?

Etter elevene har forstått dette bør de arbeide med subtraksjon og addisjon av brøk med like nevnere, deretter subtraksjon og addisjon av brøker der fellesnevnerne er identisk med en av nevnerne. De som tar dette raskt kan få regneoppgaver med brøk med vanskelige nevnere.

Avsluttende kommentar

Dette er mitt forslag til hvordan man kan gjennomføre en problemløsningsoppgave i brøk i en matematikk undervisning, som kan bidra til at eleven utvikler en mer relasjonell forståelse innenfor brøk. Ved å se på forskjellige strategier og løsninger og koble dem opp mot hverandre i et lærende felleskap vil gi mye mer til elevene kunnskapsmessig enn hvis man bare presenterer løsningen for dem med en gang og ber dem om å pugge/huske regelen. Dette er noe som må jobbes med i lengden for at elevene skal bli fortrolig med denne formen for undervisning.

Bibliografi

Alrø, H., & Skovsmose, O. (2006). Undersøgende samarbejde i matematikundervisningen: udvikling af IC-Modellen. I O. Skovsmose, & M. Blomhøj, Kunne det tænkes? : om matematiklæring (ss. 110-126). København: Malling Beck.

Berggren, S. A. (2017, 05 18). Utdanningsforskning.no. Hentet fra Matematikk er ikke vanskelig, det krever bare innsats fra elevene: https://utdanningsforskning.no/artikler/matematikk-er-ikke-vanskelig-det-krever-bare-innsats-fra-elevene/

Grønmo, L. S., & Onstad, T. (2009, 03). Timss.no. Hentet fra Tegn til bedring: http://www.timss.no/rapport2007/Hele_TIMSS2007.pdf

Kunnskapsdirektoratet. (2013, 06 21). Utdanningsdirektoratet. Hentet fra Læreplan i matematikk fellesfag (MAT1-04): https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget

Powell, A. B., Borge, I. C., Fioriti, G. I., Kondratieva, M., Koublanova, E., & Sukthankar, N. (2009). Challenging Tasks and Mathematics Learning. I P. J. Taylor, & E. J. Barbeau, Challenging mathematics in and beyond the classroom. The 16th ICMI Study (ss. 133-170). New York: Springer Science+Business Media.

Skemp, R. R. (1978). Relational Understanding and Instrumental Understanding. York, England: Department of Education, University of Warwick.

Utdanningsdirektoratet. (2013, 06 21). Utdanningsdirektoratet. Hentet fra Læreplan i matematikk fellesfag (MAT1-04) - Grunnleggende ferdigheter: https://www.udir.no/kl06/mat1-04/Hele/Grunnleggende_ferdigheter/?lplang=nob

Van de Walle, J. A., Bay-Williams, J. M., Lovin, L. H., & Karp, K. S. (2014). Teaching Student-Centered Mathemathics: Developmentally Appropriate Instruction for Grades 6-8. USA: Pearson Education.

Bilder

Bilde 1 er hentet fra https://www.hiof.no/lu/personer/und-forsk-ansatte/steinbe/
Bilde 2 er hentet fra https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/veiledning-til-lp/matematikk-fellesfag---veiledning-til-lareplan/praktiske-eksempler/eksempel-4-brokregning/