Tidlig algebra gjennom målrettet samtale

Hvorfor algebra? 

Resultatene for matematikk i TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) 2015 viser at norske ungdomsskoleelever presterer dårlig i algebra, i forhold til de andre emnene tall, geometri og statistikk slik figur 1 viser (Bergem, 2016). Sammenlignet med Sverige, England og USA presterer norske elever dårligst i algebra, og (med engelske elever rett bak) best i tall og statistikk. De ligger midt på treet i geometri-prestasjoner (Bergem, 2016).

Ole Kristian Bergem (2016) skriver i sin rapport at amerikanske elever i gjennomsnitt skårer 54 poeng høyere i algebra enn norske elever, mens forskjellen i gjennomsnitt totalt for Norge og USA er 6 poeng. Ifølge Bergem (2016) kan denne ujevne fordelingen i poengskår tyde på ulik prioritering i emnet algebra i amerikansk og norsk skole. 

Figur 1

Tidlig algebra

På grunn av denne ujevne fordelingen og lave skåren i algebra blant norske elever, vil jeg utforme et undervisningsopplegg som fokuserer på tidlig algebra gjennom målrettet samtale på 5. trinn. Hensikten med undervisningsopplegget er å introdusere algebraisk tenking før symbol, slik at det skal være lettere for elevene å forstå algebra når det innføres. 

I Early Algebra and Algebraic Reasoning skriver Carraher og Schliemann (2009) at tidlig algebra handler om å introdusere elevene til algebraisk tenkning før selve algebraen tas fatt i. Å introdusere elevene til algebraisk tenkning går blant annet ut på å lære dem og se ulike mønstre i matematikken eller å resonnere, uten bruk av for eksempel algebraiske symboler eller en funksjon. Når algebra etterhvert introduseres, er målet at elevene allerede gjenkjenner den algebraiske tenkningen (Carraher & Schliemann, 2009, s. 669 og 670). Undervisning i tidlig algebra kan ifølge Carraher og Schliemann (2009, s. 670) foregå fra 6 til 12 årsalderen, som vil si allerede fra første klasse og gjennom hele barneskolen. 

Figur 2

Carraher og Schliemann (2009) presenterer tre ulike inngangsporter eller tilnærminger til tidlig algebra: Aritmetikk og numerisk resonnement, Aritmetikk og kvantitativt resonnement og Aritmetikk og funksjoner. Jeg vil begrense undervisningen til å kun fokusere på én av tilnærmingene til tidlig algebra, og velger å presentere aritmetikk og kvantitativt resonnement for elevene. Denne tilnærmingen til tidlig algebra fokuserer på mengder, mål og størrelser (Carraher & Schliemann, 2009, s. 682). I forskningen om tidlig algebra presenterer Carraher & Schliemann (2009) flere tidlig algebra-oppgaver innenfor kvantitative resonnement hentet fra Bodanskii (1991). 

Oversatt til norsk lyder den ene oppgaven: "Elevene i klasse A lagde 38 leker, mens klasse B lagde 29 færre leker. Hvor mange leker lagde elevene i klasse C hvis det totalt ble laget 78 leker?" (Bodanskii, 1991, her i Carraher & Schliemann, 2009, s. 686). 

Oppgaven om elevene som lagde leker er en typisk mengdeoppgave som passer godt både til tidlig algebra og algebra. Tidlig algebra-oppgaver løses uten likninger og ukjente, og kan i dette tilfellet passe fint for sammenligning av størrelser gjennom resonnering. Når algebra etterhvert introduseres for elevene, vil den samme oppgaven kunne brukes for å uttrykke sammenhenger mellom størrelser med en ukjent. 

Læreplanens algebra

26. juni 2018 fastsatte Kunnskapsdepartementet kjerneelementer i de ulike fagene som føringer for utforming av læreplaner i fagfornyelsen (LK20). Et av kjerneelementene beskriver de sentrale kunnskapsområdene i matematikkfaget. Algebra er et av områdene og betyr, ut fra Kunnskapsdepartementet sin definisjon, «å arbeide med strukturer, mønster og relasjoner» (Kunnskapsdepartementet, 2018, s. 15 og 16). Elevene skal arbeide med algebraisk tenkemåte gjennom hele skoleløpet. Dette vil si hvordan algebra kan brukes til å finne ukjente, uttrykke sammenhenger mellom størrelser og generalisering av tallregning (Kunnskapsdepartementet, 2018, s. 16).

Figur 3

I figur 3 har jeg laget oppgaver i sammenheng med hva elevene skal lære i algebra. En slik oversikt kan gjøre at en lettere ser hvordan en kan endre på oppgavene eller lage andre oppgaver i tidig algebra uten ukjente. For eksempel kan oppgaven om Per, Grete og Hans brukes både i tidlig algebra og algebra. Oppgaven ligner på mengdeoppgaven om elevene som lagde leker, der elevene arbeider med å sammenligne størrelser. Fremgangsmåten med å lage en likning faller under algebra, men samme oppgave kan også løses uten ukjente, og kan dermed også gis som en tidlig algebra-oppgave der elevene lærer algebraisk tenking uten symboler. 

Undervisningsøkten

18. mars 2019 publiserte Utdanningsdirektoratet siste utkast av høringen som gjelder fornyelsen av alle læreplanene for grunnskolen. Fra dette høringsutkastet har jeg hentet ut et tidlig algebra- og algebrarelatert kompetansemål i matematikk etter 5. trinn som lyder: «løyse likningar og ulikskapar gjennom logiske resonnement og forklare kva det vil seie at eit tal er ei løysing av ei likning» (Utdanningsdirektoratet, 2019). Dette kompetansemålet vil være utgangspunktet for undervisningsøkten i tidlig algebra, der fokuset vil være å løse mengdeulikheter gjennom logiske resonnement. 

Mitt forslag på et undervisningsopplegg om tidlig algebra på 5. trinn presenterer jeg gjennom en form for målrettet samtale som Kazemi & Hintz (2019, s. 54) kaller for Sammenligne og knytte sammen. I en slik samtale arbeider elevene med å sammenligne ulike regnestrategier eller verktøy, og strukturen hjelper læreren å fokusere på det som er viktigst for elevene å legge merke til av likheter og ulikheter. Kazemi & Hintz (2019, s. 69 og 70) foreslår at sammenligne og knytte sammen-samtaler kan brukes:

·       I situasjoner der en oppgave kan løses på mer enn én måte, og der læreren vet at elevene vil ha ulike måter å løse oppgaven på.

·       Når læreren vil hjelpe elevene til å forstå de ulike strategiene de har kommet frem til og sørge for at de ikke kun ser de matematiske løsningene isolert.

·       Når læreren ønsker å hjelpe elevene til å bruke og utvikle mer avanserte strategier. 

·       I situasjoner der læreren ønsker å sammenligne bruken av ulike matematiske verktøy eller representasjoner i oppgaveløsing. 

Før man gjennomfører en sammenligne og knytte sammen-samtale bør man fylle ut et skjema som er presentert i Kazemi & Hintz (2019, s. 56) Skjemaet hjelper læreren å fokusere på det som er viktig for elevene å legge merke til, og hvordan man kan respondere på det. I denne tidlig algebra-økten vil fokuset være å sammenligne og knytte sammen strategier for å løse en mengdeoppgave gjennom resonnering. Oppgaven er presentert tidligere i figur 3 og lyder: 

Per er 5 år eldre enn Grete, og 20 år eldre enn Hans. Til sammen er de 170 år. Hvor gammel er hver av dem?

I denne formen for målrettet samtale er det lurt å gi oppgaven til elevene timen før, slik at en får se hvilke strategier de bruker for å løse oppgaven. Jeg vil derfor presentere strategi 1 som en fiktiv strategi mange av elevene brukte i den fiktive tidligere timen der de løste oppgaven. Den fiktive strategien kan antas som en rimelig strategi for 5. klassinger å bruke, da den handler om prøving og feiling. Strategi 2 vil være en algebraisk løsning uten bruk av symboler. Det vil være rimelig å anta at få eller ingen elever har brukt strategi 2 for å løse oppgaven, da den kan være krevende for en 5. klassing å resonnere seg frem til. I figur 4 nedenfor har jeg fylt ut skjemaet før undervisningsøkten, der strategiene, likheter, ulikheter, respons og viktige sammenhenger er presentert. 

Figur 4 

Timen vil starte med en sammenligne og knytte sammen-samtale for disse to strategiene, der jeg bruker skjemaet som en ramme. Først vil elevene få presentert oppgaven om alderen til Per, Grete og Hans som en repetisjon. Deretter vil jeg spørre en av de fiktive elevene som brukte strategi 1 for å løse oppgaven til å forklare tenkemåten sin til oss andre. Jeg noterer denne prøve og feile-strategien på tavla, før jeg presenterer strategi 2 for elevene. Hvis det skulle komme frem en annen strategi i løpet av timen kan denne anerkjennes, men vil ikke fokuseres på i og med at en sammenligne og knytte sammen-samtale ifølge Kazemi & Hintz (2019, s. 54) «handler om å dykke dypere ned i sammenhengene mellom de strategiene som er i fokus». 

For å få i gang en diskusjon vil jeg at elevene diskuterer sammen med sidemannen sin, og prøver å finne tre ting som er likt eller ulikt mellom de to strategiene. Mens elevene diskuterer vil jeg gå rundt og lytte til det de legger merke til. Ved å gå rundt å lytte til diskusjonene kan jeg velge hvem som får starte fasen i plenum der strategiene skal knyttes sammen, slik Kazemi & Hintz (2019, s. 59) beskriver at en lærer gjorde det i sin sammenligne og knytte sammen-samtale i andre klasse. 

I skjemaet jeg har fylt ut har jeg notert hva jeg tror elevene kommer til å legge merke til, og hvordan jeg kan respondere hvis disse likhetene eller ulikhetene kommer frem. Hvis elevene ikke nevner sammenhengene jeg har notert meg kan jeg lose dem frem i samtalen. Jeg har også notert at det er viktig at elevene legger merke til at oppsettet i starten gjøres likt i begge strategiene, og at de deretter kan prøve og feile eller regne ut den eksakte alderen til Hans. I tillegg vil jeg i samtalen fokusere på at elevene ser den viktigste matematiske ideen, ved at det å regne ut alderen til Hans med én gang gjør det lettere å regne ut riktig alder for Grete og Per ved første forsøk, og at det er mer effektivt enn prøving og feiling. 

Jeg anslår at denne sammenligne og knytte sammen-samtalen tar 20-30 minutter. I en vanlig undervisningsøkt på 45 minutter vil det mest sannsynlig være litt tid igjen etter samtalen, som jeg ville brukt på å gjennomføre dette: 

1.     Presenterer mengdeoppgaven: Elevene i klasse A lagde 38 leker, mens klasse B lagde 29 færre leker. Hvor mange leker lagde elevene i klasse C hvis det totalt ble laget 78 leker?

2.     Elevene får i oppgave å først løse den ved å bruke strategi 1, deretter ved å bruke strategi 2.

3.     Lar elevene prøve å finne andre måter å løse oppgaven på. 

4.     Samtale med elevene: Hvordan tenkte dere da dere skulle løse oppgaven? Hva var fordelen med å bruke strategi 2? På hvilken måte var oppgaven annerledes enn den forrige? 

Her får elevene en utfordring i å prøve ut begge strategiene på en oppgave i samme kategori, men som samtidig ikke er helt lik. De kan lære å resonnere seg frem til å løse oppgaver som er formulert på en annen måte og som inneholder andre komponenter. Forhåpentligvis finner elevene andre enkle måter å løse oppgaven på, men som samtidig krever algebraisk tenking. 

Avslutning

Den ujevne fordelingen av norske elever sine prestasjoner innenfor de ulike emnene i matematikk kan tyde på ulik prioritering i matematikken i skolen. Et større fokus på tidlig algebra i barneskolen kan være et tiltak for å forbedre norske elever sine prestasjoner i algebra, men det krever innsats og kompetanse fra skolen og lærerne sin side. Gjennom undervisningsopplegget har jeg prøvd å lage en god innføring til algebraisk tenking og tidlig algebra gjennom tilnærmingen aritmetikk og kvantitative resonnement. Når elevene senere i skoleløpet introduseres for algebra, kan en algebraisk løsning av oppgaven om Per, Grete og Hans være et forslag å gjennomføre sammen med tidlig algebra-løsningen i en sammenligne og knytte-sammen samtale. Resonneringen og tenkemåten i tidlig algebra-strategien kan være med å danne et grunnlag for elevene å beherske selve algebraen. 

Bibliografi

Bergem, O. K. (2016). Hovedresultater i matematikk. I O. K. Bergem, H. Kaarstein, & T. Nilsen, Vi kan lykkes i realfag. Resultater og analyser fra TIMSS 2015 (ss. 22-44). Universitetsforlaget.

Carraher, D. W., & Schliemann, A. D. (2009). Early Algebra and Algebraic Reasoning. I F. K. Lester, Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (ss. 669-705). Information Age Publishing.

Kazemi, E., & Hintz, A. (2019). Målrettet samtale. Hvordan strukturere og lede gode, matematiske diskusjoner. Oslo: CAPPELEN DAMM AS.

Kunnskapsdepartementet. (2018, Juni 26). Kjerneelementer i fag. Hentet September 24, 2019 fra regjeringen.no: https://www.regjeringen.no/contentassets/3d659278ae55449f9d8373fff5de4f65/kjerneelementer-i-fag-for-utforming-av-lareplaner-for-fag-i-lk20-og-lk20s-fastsatt-av-kd.pdf

Utdanningsdirektoratet. (2019, Mars 18). Læreplan i matematikk fellesfag 1.-10. trinn. Hentet Oktober 17, 2019 fra hoering.udir.no: https://hoering.udir.no/Hoering/v2/343?notatId=686

Figurliste

Figur 1: Prestasjoner per emneområde hentet fra Bergem, O. K. (2016). Hovedresultater i matematikk. I O. K. Bergem, H. Kaarstein, & T. Nilsen, Vi kan lykkes i realfag. Resultater og analyser fra TIMSS 2015 (ss. 22-44). Universitetsforlaget.

Figur 2: Tre tilnærminger til tidlig algebra. Laget selv. 

Figur 3: Algebraoppgaver. Laget selv. 

Figur 4: Skjema hentet fra Kazemi, E., & Hintz, A. (2019). Målrettet samtale. Hvordan strukturere og lede gode, matematiske diskusjoner. Oslo: CAPPELEN DAMM AS (s. 159).