Matematikk = regler + algoritmer + prosedyrer?
Problemløsning i matematikk-faget!
Matematikk, faget som handler om
regler, algoritmer og prosedyrer. Eller kanskje ikke?
I siste høringsdokument om den nye læreplanen står det skrevet om kjerne-elementene i matematikk-faget. Her kan en lese allerede av de første linjene som sier at utforsking og problemløsning er det viktigste i faget for
dybdelæring. Det står videre at dette kjerne-elementet må ses i sammenhenger med
de andre elementene og at det må legges mer vekt på selve strategier og
fremgangsmåter enn bare løsningene (Udir, 2018). Elever som sliter med å forstå
matematikk og som er opptatte av å huske hvordan regler man skulle følge når en
løste matematiske problemer har kanskje ikke forstått eller blitt vist at
matematikken handler om å være kreative, kritiske og objektive til hvordan en
skal løse problemer på samme måte som en må i hverdagen. Dersom en skal nå noe
på øverste hylle, så må en være kreativ nok til å finne noe å stå på slik at en
når opp, likevel må en være kritisk og reflektert nok til å skjønne at det ikke
er alt som egner seg å stå på for å nå helt opp. På samme måte må en arbeide
med matematiske problemer gjennom kreativ tenkning for hvordan problemer skal
løses, og vi som lærere må være der å legge best mulig til rette for elevene
slik at de forstår hva de har slags verktøy og hvorfor og når tid man bruker
de.
Instrumentell og relasjonell forståelse
Instrumentell forståelse handler om
at elevene er i stand til å kunne finne riktig svar dersom det blir gjort etter
de metodene og rekkefølgene de er opplært til å gjøre det, men blir usikker
dersom det går utenfor de reglene eleven er vant til (Skemp, 1976: 4). Skemp
(1976) sier også noe om at man ikke må undervurdere instrumentell forståelse,
men se på de positive og negative sidene ved en slik forståelse. Han trekker
frem at det ofte er lettere for eleven å forstå fremgangsmåtene og at belønningene i
form av rett svar kommer raskere. Skemp (1976: 8) mener eleven kan få et raskere og mer pålitelig svar
ved bruk av instrumentelle fremgangsmåter (Skemp, 1976: 8).
Relasjonell forståelse kan forstås
som en matematisk forståelse hvor man kan bruke tenkemåter og resonnementer på
andre oppgaver ut over de faste oppgavene
man er vant til. Relasjonell forståelse gjør det lettere for elever å huske
tilbake til hvordan man løste problemer innenfor matematikk i ettertid fordi
en bedre forstår hva som ligger bak strategiene en bruker. Skemp (1976) trekker
frem relasjonell forståelse som et mål i seg selv hvor man ser belønningene og
får kjennskap og erfaringer med matematikken på en måte som gjør at elevene
selv vil ta løs på nye og andre utfordringer fordi de ser matematikken som
sammensatt og dynamisk for å løse andre problemer enn de som allerede er blitt
løst (Skemp, 1976: 8-10).
Problemløsning.
Elever arbeider med matematikk i
skolen regelmessig gjennom hele skolegangen. Det overordnede målet er å lære
seg det som er beskrevet i kompetansemålene som er utarbeidet av utdanningsdirektoratet.
Hvordan elevene skal gjøre dette på best mulig måte er derimot noe som blir
diskutert, forsket på og problematisert i flere sammenhenger. Lærere har trolig
ulike tilnærminger til hva som er viktig for å kunne lære seg det målene omfatter.
Problemløsning er en tilnærming til å arbeide med matematikk på en måte som
ikke er “tradisjonell” undervisning. Med tradisjonell undervisning menes det at
læreren går gjennom et tema foran klassen, gjerne på tavla, for så å gi elevene
strategier for å finne riktig svar. Denne algoritmen anvendes så av elevene og
entusiasmen kan stige når de ser i fasiten at de får riktig svar. Om elevene
finner riktig svar eller ikke avhenger av om de klarer å følge reglene,
prosedyrene og huske når de skulle gjøre hva. Det er imidlertid slik at mange
elever blir prisgitt å følge disse så godt de husker gjennom konstant og
regelmessig “drilling” på oppgaver dersom de ikke får en større forståelse av hvorfor denne fremgangsmåten fungerer og er hensiktsmessig i den sammenhengen den
blir anvendt. Problemløsning er en måte å få elevene til å se på sammensatte
problemer som fordrer kritisk tenkning, utforsking og anvendelse av flere og
gjerne andre metoder enn de som man tradisjonelt bruker. Det blir viktig å
kunne argumentere med hvorfor man mener noe er gyldig og rett.
George Polya (1957: 16-17) er blant mange som har forsket på matematikk, men særlig problemløsning var interessant hvor han skrev how to solve it som er hans mest kjente verk og oversatt til et flertall språk. I dette verket fant han fire punkter som er
viktig når en arbeider med problemløsning (Math Berkeley, u.å: 1).
 |
| George Polya |
Forstå problemet.
Det første punktet handler om å forstå problemet. Hva er det ukjente? Hvilke data har vi? Hva vil vi finne ut? Deretter må man finne ut hva som er relevant for oppgaven, hva som kan hjelpe en til å løse problemet, for så å tegne en figur og ta notater. Her skal man også skille de ulike delene av oppgaven og se om dette kan skrives ned (G. Polya, 1957, s. 6).
Hvordan henger det sammen og lag en plan
Det andre punktet handler om å lage en plan. Her må man finne en sammenheng mellom data man har fått oppgitt og det ukjente. Dersom man ikke finner en umiddelbar sammenheng, kan man måtte lage “hjelpeproblemer”. Videre tenker man om man har sett problemet før, eventuelt et liknende problem, og vurderer om man kjenner til et teorem som kan være nyttig. Deretter ser man på det ukjente, og prøver å komme på et liknende problem som har den samme eller liknende ukjente. Dersom man ikke greier å finne en løsning på problemet, kan man prøve å løse liknende problemer for å finne en fremgangsmåte som fungerer (Polya, 1957, s. 8).
Iverksett planen
Dette går på å gjennomføre planen for løsningen, og man må sjekke hvert trinn i gjennomføringen. Kan du tydelig se at trinnet er riktig og kan du bevise at det er riktig? (Polya, 1957, s. 12)
Se tilbake på løsningen og reflekter over den
Fjerde punkt er å se tilbake på løsningen og reflektere over den. Kan du sjekke resultatet og argumentene? Kan du bruke løsningen på et annet problem? (Polya, 1957, s. 14).
«Second handbook of research on mathematics teaching and learning» av
Frank K. J. Lester er et prosjekt utgitt av the National Council of Teachers of
Mathematics. Formålet med denne boken er å samle forskning på ulike områder
innenfor matematikk. Publikasjonen består av 31 kapitler, eller bidrag skrevet
av andre forfattere, delt inn i seks deler/seksjoner. Kapittel 17 handler om
problemløsing og modellering. Tittelen er «Problem solving and modeling», og
forfattere er Richard Lesh og Judith Zawojewski. Lesh er professor i
læringsvitenskap og matematikkundervisning ved Indiana University (Indiana
Universety Bloomington, u.d.). Zawojewski er førsteamanuensis emeritus innenfor
matematikkutdanning ved Illinois Institute of Technology med Ph.D. innenfor
læring- og læringsprosesser, med spesialisering i matematikkundervisning
(Illinois Institute of Technology, u.d.).
Innledningsvis i dette kapittelet
siterer Lesh og Zawojewski en konklusjon av Begle (1979). Begle konkluderer med
at det er nok som tyder på at problemløsingsstrategier er både problem- og elevspesifikke
ofte nok til at håpene om å finne en, eller noen få, strategier som bør læres
til alle, eller de fleste, elevene er alt for forenklede (Begle (1979) gjengitt
i Lesh & Zawojewski, 2007, s. 763). Lesh og Zawojewski trekker også frem at
Schoenfeld i 1992 konkluderte, i likhet med Begle (1979), med at forsøk på å
lære elevene å bruke generelle problemløsingsstrategier generelt sett ikke
hadde vært suksessfull. Eksempler på slike generelle strategier som blir
trukket frem her er å tegne, indentifisere informasjon og mål eller å ta
liknende problemer i betraktning. Schoenfeld mente heller at bedre resultater
muligens kan nås gjennom å utvikle og lære bort spesifikke problemløsningsstrategier.
Dette gjennom å studere hvordan man underviser metakognitive strategier, og
gjennom å utvikle og studere metoder for å eliminere elevenes kontraproduktive
oppfatninger, samtidig som man styrker elevenes produktive oppfatninger (Lesh
& Zawojewski, 2007, s. 763).
Metakognisjon
Metakognisjon forklarer Lesh og
Zawojewski som det å tenke på ens egne tanker. Ha et slags overblikk over hva
en tenker og gjør. Det handler om kunnskap og innsikt i ens egne tanker.
 |
| Metacognition |
Undervisningsopplegget
Undervisningsopplegget tar
utgangspunkt i læreplanmålet for tall og algebra hvor elevene skal kunne:
-
Analysere sammensatte
problemstillinger, identifisere faste og variable størrelser, kople sammensatte
problemstillinger til kjente løsningsmetoder, gjennomføre beregninger og
presentere resultatene på en hensiktsmessig måte (Udir, 2013).
Dette er en oppgave som kan brukes
når en arbeider med overgangen mellom aritmetikk og algebra. Målet med oppgaven
er at elevene selv skal utforske og prøve å finne frem til sammenhengen mellom
tall og bokstaver knyttet til algebra. Fra helt enkle tellestrategier til mer
generaliserte formler som de senere møter i algebra.
Oppgaven kan gjerne bli kalt
“Bilderamma” hvor elevene skal finne ut hvor mange ruter det er i bilderamma
markert rødt uten å telle en og en rute
-
I starten gjerne alene uten å
skrive. Bilde blir vist på smartboard/tavle.
 |
| Figur 1 - Bilderamme |
Fordelene med slike
undervisningsopplegg kan være at det er sammensatt av flere temaer i
matematikken, noe gjerne problemløsning er ettersom det er problemer en skal
forsøke å løse. Her vil elevene få bruk av visualisering av mønstre i figuren
(Geometrisk-representasjon) og det er viktig at de får forklare sine løsninger
for andre elever i klassen som en øvelse i å uttrykke seg verbalt i matematikk.
Dette fordrer også at læreren har tenkt og planlagt godt før
undervisningsopplegget tas i bruk fordi læreren er med å etablere
sosio-matematiske normer i klasserommet, det vil si hvordan en snakker om
matematikk (Yackel & Cobb, 1996: 466).
Selve opplegget tar utgangspunkt i
60minutters økt, men må kanskje tilpasses den klassen og gruppen man
gjennomfører dette i siden målet er at elevene skal kunne generalisere det de
finner ut og dermed se sammenhengen fra denne bilderammen til noe mer generelt
for kvadrater. Opplegget legger til rette for om elevene vil ta i bruk en eller
to variabler og hvordan strategier de velger samt argumenter de kommer med til valgene
sine.
Selve gjennomføringen.
Van de Walle (2013) presenterer en
måte å løse problemløsningsoppgaver på og deler det inn i faser. Disse fasene
blir oversatt og gitt navn til før, underveis- og etter-fase.
Start timen med en før-fase hvor
man forsøker å forklare elevene at dette er en oppgave hvor alle skal få tenke
og finne løsninger, og at det derfor er viktig at elevene ikke roper ut hva
løsningen deres er før alle har fått tid til å tenke. Presenter så formålet med
oppgaven, at de skal finne ut hvor mange ruter som er markert rød på bilderamma
og vis den deretter på smartboard/tavle slik at elevene får begynt å
resonnere. Poenget er at elevene ikke skal telle alle rutene rundt som er rød,
men man kan ikke unngå at elevene som er usikre gjør dette. Likevel er det viktig
at de er aktive og selv kommer med løsninger de finner.
Underveis-fasen er den fasen av
undervisningsøkten hvor elevene vil kunne komme med løsninger, og da kan de
gjerne diskutere med sidemannen for å bli trygge på sine løsninger, men
samtidig få høre hva medeleven fant ut. Etter noen minutter kan man ta dette
felles på tavla hvor elevene kommer med sine løsninger. Dette kan se slik ut
 |
| Figur 2 |
Elevene får nå i oppgave å se hva
som varierer fra de ulike kvadratene og hva som er konstante. På denne måten
kan man diskutere og argumentere for om noe er likt mellom de ulike kvadratene
og hva som varierer. Det vil trolig være noen elever som er mer aktive enn
andre, men det er likevel viktig å holde alle aktivisert slik at de er med på
hva som skjer. Videre skal elevene se om de kan lage noe generelt ut av dette
for alle typer kvadrater, og etter noen minutters diskusjon vil kanskje elevene
kunne komme med argumenter for om det var en eller to variabler. Når elevene
har fått utforsket og diskutert løsninger, samt å navngi de konstante rutene og
lage en løsning for å regne ut sidene kan man ta dette i plenum. Det vil være
naturlig å tro at noen har funnet noen løsninger og man kan skrive dette i en
tabell som vil se noe slik ut.
 |
| Figur 3 |
Denne fasen kalles etter-fasen og er særlig
viktig å vie tid til da man kan få klarhet i hvilke løsningsstrategier elevene
har brukt og eventuelle oppklaring av misoppfatninger. Elevene som ikke er så
raske og effektive i sine tenkemåter, og som kanskje føler de henger litt bak,
vil kunne få ta del i dette og lære av andre elevers tenkemåter. Det er
imidlertid viktig at de forstår og følger det som skjer i klasserommet og den
matematiske samtalen (Van de Walle, 2013: 26).
Elevene vil nok fort oppdage her at
alle løsningene ble like, og at 4s-4 er et algebraisk uttrykk for å finne
antall ruter i bilderamma. Elever som ikke har høy måloppnåelse i faget, kan
likevel være med på dette opplegget og komme med egne resonnement. Kanskje kan
man illustrere løsningene ved bruk av fargelegging slik som figur 4 viser.
 |
| Figur 4 |
Oppsummering
Jakten på relasjonell forståelse i
matematikk for flest mulig elever kan være motivasjon for lærere og
problemløsningsoppgaver kan være en del av og nå dette målet. Samtidig er det
viktig å ha god tid og være bevisste på hvordan man som lærer fører den matematiske
samtalen slik at alle elever får mulighet til å være med og berike den
matematiske diskusjonen i klasserommet. For mange vil instrumentell forståelse være
nyttig for å klare seg gjennom et minimum og for å få riktig svar. Vår
oppfatning gjennom lærerutdanningen er at mange lærere opplever at tiden ikke
strekker til, noe som kan gjøre at man ikke får roen til en god matematisk
samtale. Samtidig kan det være viktig med ordentlig god forberedelse og
bevisstgjøring av hvordan en stiller spørsmål og hvordan miljøet er i
klasserommet når man underviser i matematikk. Dette for å unngå at elever ikke
skal komme med sine tanker og refleksjoner i frykt av å ikke bli anerkjent. Tanken om at alle elevene skal oppnå en relasjonell forståelse i grunnskolen kan være vakkert og fint, men samtidig må en ikke bli
skuffet om ikke alle elever får en slik tilnærming umiddelbart. Det viktigste vil trolig
være å legge til rette for refleksjoner og diskusjoner slik at elevene blir bevisste sine egne tanker og valg av løsningsstrategier. Dersom elevene lærer å argumentere, begrunne og dele sine resonnementer og løsninger i klasserommet gjennom gjensidige diskusjoner så kan man langt på vei være med å legge til rette for relasjonell forståelse blant elevene.
Litteraturliste.
Illinois
Institute of Technology (u.d.). Judith Zawojewski , Ph.D.. Hentet 17.10.19 fra https://science.iit.edu/people/faculty/judith-zawojewski
Indiana University Bloomington (u.d.). Richard
Lesh. Hentet 17.10.19 fra https://education.indiana.edu/about/directory/profiles/lesh-richard-a.html
Lesh, R. & Zawojewski, J. (2007). Problem
solving and modeling. I F. K. Lester (Red.), Second handbook of research on
mathematics teaching and learning (ss. 763-804). Charlotte, N.C:
Information Age.
Math Berkeley, (u.d), George Polya´s Problem Solving techniques, University of California, Berkeley. hentet fra https://math.berkeley.edu/~gmelvin/polya.pdf
Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding
and Instrumental Understanding, Mathematic Teaching.
Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk fellesfag (MAT1-04). Hentet fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04?lplang=http://data.udir.no/kl06/nob
Utdanningsdirektoratet. (2013, Juni 21). Læreplan i matematikk fellesfag 1.-10. trinn. Hentet Oktober 20, 2019 fra: https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Komplett_visning?lplang=nob
Van de Walle,
J. A. (2013). Teaching student-centered mathematics : developmentally appropriate
instruction for grades 6-8 (2nd ed. utg.): Pearson.
Yackel, E. and P. Cobb (1996).
"Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in
Mathematics."
Journal for Research in Mathematics Education 27: 458-477.
Figur.
Figur 1: Bilderamme - laget selv
Figur 2: Bilderamme - laget selv
Figur 3: Bilderamme - laget selv
Figur 4: Bilderamme - laget selv
Bilder:
Kommentarer
Legg inn en kommentar